1. Просте «прикладне» опис поняття [ правити | правити код ]
2. Формальне визначення щільності ймовірності в теорії заходи [ правити | правити код ]

Щільність ймовірності - один із способів завдання розподілу випадкової величини . У багатьох практичних додатках поняття «щільність ймовірності» і «щільність [розподілу] випадкової величини »Або« функція розподілу ймовірностей »фактично синонимизируются і під ними мається на увазі матеріальна функція, що характеризує порівняльну ймовірність реалізації тих чи інших значень випадкової змінної (змінних).

Просте «прикладне» опис поняття [ правити | правити код ]

Щільність розподілу однієї випадкової величини x {\ displaystyle x} - це числова функція f (x) {\ displaystyle f (x)} , Відношення f (x 1) / f (x 2) {\ displaystyle f (x_ {1}) / f (x_ {2})} значень якої в точках x 1 {\ displaystyle x_ {1}} і x 2 {\ displaystyle x_ {2}} задає відношення ймовірностей влучень величини x {\ displaystyle x} в вузькі інтервали рівної ширини [x 1 ... x 1 + Δ x] {\ displaystyle [x_ {1} \ ldots x_ {1} + \ Delta x]} і [x 2 ... x 2 + Δ x] {\ displaystyle [x_ {2} \ ldots x_ {2} + \ Delta x]} поблизу даних точок.

Щільність розподілу неотрицательна при будь-якому x {\ displaystyle x} і нормована на одиницю, тобто

∫ - ∞ + ∞ f (x) d x = 1 {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \, {\ mbox {d}} x = 1}

При прагненні x {\ displaystyle x} до ± ∞ {\ displaystyle \, \ pm \ infty} функція f (x) {\ displaystyle f (x)} прямує до нуля. Розмірність щільності розподілу завжди обернена до розмірності випадкової величини; скажімо, якщо x {\ displaystyle x} обчислюється в метрах, то розмірністю f {\ displaystyle f} буде м-1.

Якщо в конкретній ситуації відомий вислів для f (x) {\ displaystyle f (x)} , З його допомогою можна обчислити вірогідність попадання величини x {\ displaystyle x} в інтервал [a, b] {\ displaystyle [a, b]} як

P (x ∈ [a, b]) = ∫ abf (x) dx {\ displaystyle P (x \ in [a, b]) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, {\ mbox {d}} x} .

Знаючи щільність ймовірності можна також визначити найбільш ймовірне значення ( моду ) Випадкової величини як максимум f (x) {\ displaystyle f (x)} . Також за допомогою щільності ймовірності перебуває середнє значення будь-якої функції g (x) {\ displaystyle g (x)} випадкової величини:

⟨G (x)⟩ = ∫ - ∞ + ∞ g (x) f (x) dx {\ displaystyle \ langle g (x) \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x ) f (x) \, {\ mbox {d}} x} .

Щоб перейти до щільності розподілу f ~ (χ) {\ displaystyle {\ tilde {f}} (\ chi)} іншої випадкової величини χ (x) {\ displaystyle \ chi (x)} потрібно взяти

f ~ (χ) = f (x (χ)) ⋅ | d x d χ | {\ Displaystyle {\ tilde {f}} (\ chi) = f (x (\ chi)) \ cdot \ left | {\ frac {{\ mbox {d}} x} {{\ mbox {d}} \ chi}} \ right |} ,

де x (χ) {\ displaystyle x (\ chi)} - зворотна функція по відношенню до χ (x) {\ displaystyle \ chi (x)} (Передбачається, що χ {\ displaystyle \ chi} і x {\ displaystyle x} пов'язані взаємно однозначно).

Значення щільності розподілу f (x 1) {\ displaystyle f (x_ {1})} не є ймовірністю прийняти випадковою величиною значення x 1 {\ displaystyle x_ {1}} . Так, ймовірність прийняття безперервною випадковою величиною x {\ displaystyle x} значення x 1 {\ displaystyle x_ {1}} дорівнює нулю. При безперервному розподілі випадкової величини x {\ displaystyle x} питання може ставитися про ймовірність її попадання в якийсь діапазон, а не про ймовірність реалізації її конкретного значення.

інтеграл

∫ - ∞ x f (t) d t = F (x) {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {x} f (t) \, {\ mbox {d}} t = F (x)}

називають функцією розподілу (Відповідно, щільність розподілу ймовірності - це похідна функції розподілу). Функція F {\ displaystyle F} є неубивающей і змінюється від 0 при x → - ∞ {\ displaystyle x \ to - \ infty} до 1 при x → + ∞ {\ displaystyle x \ to + \ infty} . На практиці часто допускається неточність термінології, тобто щільність розподілу f {\ displaystyle f} , Як і F {\ displaystyle F} , Іменується функцією розподілу (іноді законом розподілу), але зазвичай з контексту очевидно, про що йде мова.

Найпростішим розподілом є рівномірний розподіл на відрізку [a, b] {\ displaystyle [a, b]} . Для нього щільність ймовірності дорівнює:

f (x) = {1 b - a, x ∈ [a, b] 0, x ∉ [a, b]. {\ Displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} {1 \ over ba}, & x \ in [a, b] \\ 0, & x \ not \ in [a, b] \ end { matrix}} \ right ..}

Широко відомим розподілом є « нормальне », Воно ж гауссово, щільність якого записується як

f (x) = 1 2 π σ exp ⁡ [- (x - μ) 2 2 σ 2] {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma} } \ exp \ left [- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right]} ,

де μ {\ displaystyle \ mu} і σ {\ displaystyle \ sigma} - параметри: математичне очікування і середньоквадратичне відхилення . Інші приклади щільності розподілу - одностороннє лапласовское (λ> 0 {\ displaystyle \ lambda> 0} ):

f (x) = A exp ⁡ [- λ x] (x ≥ 0) {\ displaystyle f (x) = A \ exp \ left [- \ lambda \, x \ right] \, \, (x \ geq 0 )} і f (x) = 0 (x <0) {\ displaystyle f (x) = 0 \, \, (x <0)} ,

і максвелловское (α> 0 {\ displaystyle \ alpha> 0} ):

f (x) = A x 2 exp ⁡ [- α x 2] (x ≥ 0) {\ displaystyle f (x) = Ax ^ {2} \ exp \ left [- \ alpha x ^ {2} \ right] \, \, (x \ geq 0)} і f (x) = 0 (x <0) {\ displaystyle f (x) = 0 \, \, (x <0)} .

У двох останніх прикладах множник A {\ displaystyle A} підбирається в залежності від параметра λ {\ displaystyle \ lambda} або α {\ displaystyle \ alpha} так, щоб забезпечити згадувану нормування. Скажімо, в разі розподілу Лапласа виявляється A = λ {\ displaystyle A = \ lambda} . Як вищеназвані, так і інші розподілу широко застосовуються в задачах фізики. Наприклад, в разі розподілу Максвелла роль x {\ displaystyle x} зазвичай грає абсолютна величина швидкості молекули в ідеальному газі .

Вище була викладена суть поняття «щільність ймовірності». Однак, такий виклад не є строгим - хоча б тому, що випадкова величина цілком може приймати дискретні значення, щільність f {\ displaystyle f} нерідко є функцією декількох величин, в міркуваннях неявно передбачалися (не завжди гарантовані) безперервність і дифференцируемость функцій і так далі. Більш пунктуальне уявлення дається нижче.

Формальне визначення щільності ймовірності в теорії заходи [ правити | правити код ]

Щільність ймовірності можна розглядати як один із способів завдання імовірнісної міри на евклідовому просторі R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} . Нехай P {\ displaystyle \ mathbb {P}} є ймовірнісної мірою на R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} , Тобто визначено імовірнісний простір (R n, B (R n), P) {\ displaystyle \ left (\ mathbb {R} ^ {n}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}), \ mathbb { P} \ right)} , Де B (R n) {\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n})} позначає борелевская σ-алгебру на R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} . Нехай m {\ displaystyle m} позначає міру Лебега на R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} .

Визначення 1. Імовірність P {\ displaystyle \ mathbb {P}} називається абсолютно безперервної (Щодо міри Лебега) (P «m {\ displaystyle \ mathbb {P} \ ll m} ), Якщо будь-який борелевская безліч нульової міри Лебега також має ймовірність нуль:

∀ B ∈ B (R n), (m (B) = 0) ⇒ (P (B) = 0). {\ Displaystyle \ forall B \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {n}), \; (m (B) = 0) \ Rightarrow (\ mathbb {P} (B) = 0 ).}

Якщо ймовірність P {\ displaystyle \ mathbb {P}} абсолютно неперервна, то згідно теоремі Радону-Никодима існує неотрицательная борелевская функція f: R n → [0, ∞) {\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to [0, \ infty)} така, що

P (B) = ∫ B f (x) d x {\ displaystyle \ mathbb {P} (B) = \ int \ limits _ {B} f (x) \, dx} ,

де використано загальноприйняте скорочення m (d x) ≡ d x {\ displaystyle m (dx) \ equiv dx} , І інтеграл розуміється в сенсі Лебега .

Визначення 2. У більш загальному вигляді, нехай (X, F) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}})} - довільне вимірний простір , А μ {\ displaystyle \ mu} і ν {\ displaystyle \ nu} - дві заходи на цьому просторі. Якщо знайдеться неотрицательная f {\ displaystyle f}