1. Завдання B11 - 1 варіант
2. Завдання B14 - 2 варіант

Завдання. Знайдіть значення виразу:

І ще одне завдання B11 на ту ж тему - з реального ЄДІ з математики.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У цьому короткому відеоуроці ми дізнаємося, як застосовувати формули приведення для вирішення реальних завдань B11 з ЄДІ з математики. Як ви бачите, перед нами - два тригонометричних вираження, кожне з яких містить синуси і косинуси, а також досить звірячі числові аргументи.

Перш ніж вирішувати ці завдання, давайте згадаємо, що таке формули приведення. Отже, якщо у нас є вираження виду:

То ми можемо позбутися від першого доданка (виду · π / 2) за спеціальними правилами. Накреслимо тригонометричну окружність, відзначимо на ній основні точки: 0, π / 2; π; 3π / 2 і 2π. Потім дивимося на перший доданок під знаком тригонометричної функції. маємо:

1. Якщо нас цікавить доданок лежить на вертикальній осі тригонометричного кола (наприклад: 3π / 2; π / 2 і т.д.), то вихідна функція замінюється на ко-функцію: синус замінюється косинусом, а косинус - навпаки, синусом.
2. Якщо ж наше доданок лежить на горизонтальній осі, то вихідна функція не змінюється. Просто прибираємо перший доданок у виразі - і все.

Таким чином, ми отримаємо тригонометричну функцію, що не містить доданків виду · π / 2. Однак на цьому робота з формулами приведення не закінчується. Справа в тому, що перед нашою новою функцією, отриманої після «відкидання» першого доданка, може стояти знак плюс або мінус. Як визначити цей знак? Ось зараз і дізнаємося.

Уявімо, що кут α, що залишився всередині тригонометричної функції після перетворень, має дуже малу градусну міру. Але що значить «мала міра»? Припустимо, α ∈ (0; 30 °) - цього цілком достатньо. Розглянемо для прикладу функцію:

Тоді, слідуючи нашим припущенням, що α ∈ (0; 30 °), робимо висновок, що кут 3π / 2 - α лежить у третій координатної чверті, тобто 3π / 2 - α ∈ (π; 3π / 2). Згадуємо знак вихідної функції, тобто = Sin на цьому інтервалі. Очевидно, що синус в третій координатної чверті негативний, оскільки за визначенням синус - це ордината кінця рухомого радіусу (коротше синус - це координата). Ну, а координата в нижній півплощині завжди приймає негативні значення. Значить, і в третій чверті теж негативний.

На підставі цих роздумів ми можемо записати остаточний вираз:

Завдання B11 - 1 варіант

Ось ці ж самі прийоми цілком підходять для вирішення завдання B11 з ЄДІ з математики. Різниця лише в тому, що в багатьох реальних задачах B11 замість радіанної заходи (тобто чисел π, π / 2, 2π і т.д.) використовується градусна міра (тобто 90 °, 180 °, 270 ° і т.д.). Давайте подивимося на перше завдання:

Спочатку розберемося з чисельником. cos 41 ° - це нетаблічное значення, тому ми нічого не можемо зробити з ним. Поки так і залишимо.

Тепер дивимося на знаменник:

Очевидно, що перед нами формула приведення, тому синус замінився на косинус. Крім того, кут 41 ° лежить на відрізку (0 °; 90 °), тобто в першій координатної чверті - саме так, як потрібно для застосування формул приведення. Але тоді 90 ° + 41 ° - це друга координатна чверть. Вихідна функція = sin там позитивна, тому ми і поставили перед косинусом на останньому кроці знак «плюс» (іншими словами не поставили нічого).

Залишилося розібратися з останнім елементом:

Тут ми бачимо, що 180 ° - це горизонтальна вісь. Отже, сама функція не поміняється: був косинус - і залишиться теж косинус. Але знову виникає питання: плюс або мінус буде стояти перед отриманим виразом cos 60 °? Зауважимо, що 180 ° - це третя координатна чверть. Косинус там негативний, отже, перед косинусом в результаті буде стояти знак «мінус». Разом, отримуємо конструкцію -cos 60 ° = -0,5 - це табличне значення, тому все легко вважається.

Тепер підставляємо отримані числа в вихідну формулу і отримуємо:

Як бачимо, число cos 41 ° в чисельнику і знаменнику дробу легко скорочується, і залишається звичайне вираз, що дорівнює -10. При цьому мінус можна або винести і поставити перед знаком дробу, або «тримати» поруч з другим множником до самого останнього кроку обчислень. Відповідь в будь-якому випадку вийде -10. Все, задача B11 ​​вирішена!

Завдання B14 - 2 варіант

Переходимо до другої задачі. Перед нами знову дріб:

Ну, 27 ° у нас лежить в першій координатної чверті, тому тут нічого міняти не будемо. А ось sin 117 ° треба розписати (поки без всякого квадрата):

Очевидно, перед нами знову формула приведення: 90 ° - це вертикальна вісь, отже, синус зміниться на косинус. Крім того, кут α = 117 ° = 90 ° + 27 ° лежить в другій координатної чверті. Вихідна функція = sin там позитивна, отже, перед косинусом після всіх перетворень все одно залишається знак «плюс». Іншими словами, там нічого не додається - так і залишаємо: cos 27 °.

Повертаємося до вихідного висловом, яке потрібно обчислити:

Як бачимо, в знаменнику після перетворень виникло основне тригонометричну тотожність: sin2 27 ° + cos2 27 ° = 1. Разом -4: 1 = -4 - ось ми і знайшли відповідь до другої задачі B11.

Як бачите, за допомогою формул приведення такі завдання з ЄДІ з математики вирішуються буквально в пару рядків. Ніяких синусів суми і косинусів різниці. Все, що нам потрібно пам'ятати - це тільки тригонометричний коло.

Дивіться також:

1. Основне тригонометричну тотожність
2. Тест до уроку «Знаки тригонометричних функцій» (1 варіант)
3. Пробний ЄДІ-2011 з математики, варіант №4
4. Тест з теорії ймовірностей (1 варіант)
5. Ірраціональні нерівності. Частина 1
6. Завдання B5: площа закрашеного сектора