Вперше космічні швидкості були досягнуті в СРСР: перша - під час запуску першого штучного супутника Землі в 1957 р, друга - під час запуску ракети в 1959 р Після історичного польоту Ю. А. Гагаріна в 1961 р починається бурхливий розвиток космонавтики.

§ 27. неінерціальна системи відліку. сили інерції

Як вже зазначалося (див. § 5, 6), закони Ньютона виконуються тільки в інерційних системах відліку. Системи відліку, що рухаються щодо інерціальної системи з прискоренням, називаються неінерційній. У неінерційних системах закони Ньютона, взагалі кажучи, вже несправедливі. Однак закони динаміки можна застосовувати і для них, якщо крім сил, обумовлених впливом тіл один на одного, ввести в розгляд сили особливого роду - так звані сили інерції.

Якщо врахувати сили інерції, то другий закон Ньютона буде справедливий для будь-якої системи відліку: добуток маси тіла на прискорення в даній системі відліку дорівнює сумі всіх сил, що діють на дане тіло (включаючи і сили інерції). Сили інерції Fін при цьому повинні бути такими, щоб разом з силами F, зумовленими впливом тіл один на одного, вони повідомляли тілу прискорення а ', яким воно має в неінерційних системах відліку, т. Е.

(27.1)

Так як F = ma (a - прискорення тіла в інерціальній системі відліку), то

Сили інерції обумовлені прискореним рухом системи відліку щодо вимірюваної системи, тому в загальному випадку потрібно враховувати наступні випадки прояву цих сил: 1) сили інерції при прискореному поступальному русі системи відліку; 2) сили інерції, що діють на тіло, покоїться під обертається системі відліку; 3) сили інерції, що діють на тіло, що рухається під обертається системі відліку.

Розглянемо ці випадки.

1. Сили інерції при прискореному поступальному русі системи відліку. Нехай на візку до штатива на нитці підвішений кулька масою т (рис. 40). Поки візок спочиває або рухається рівномірно і прямолінійно, нитка, що утримує кульку, займає вертикальне положення і сила тяжіння Р врівноважується силою реакції нитки Т.

Якщо візок привести в поступальний рух з прискоренням а0, то нитка почне відхилятися від вертикалі назад до такого кута a, поки результуюча сила F = P + T не забезпечить прискорення кульки, рівне а0. Таким чином, результуюча сила F направлена в сторону прискорення візка а0 і для усталеного руху кульки (кулька тепер рухається разом з візком з прискоренням а0) дорівнює F = mg tga = ma0, звідки

т. е. кут відхилення нитки від вертикалі тим більше, чим більше прискорення візка.

Щодо системи відліку, пов'язаної з прискорено рухається візком, кулька спочиває, що можливо, якщо сила F урівноважується рівній і протилежно спрямованої їй силою Fи, яка є нічим іншим, як силою інерції, так як на кульку ніякі інші сили не діють. Таким чином,

(27.2)

Прояв сил інерції при поступальному русі спостерігається в повсякденних явищах. Наприклад, коли поїзд набирає швидкість, то пасажир, що сидить по ходу поїзда, під дією сили інерції притискається до спинки сидіння. Навпаки, при гальмуванні поїзда сила інерції направлена ​​в протилежну сторону і пасажир віддаляється від спинки сидіння. Особливо ці сили помітні при раптовому гальмуванні поїзда. Сили інерції проявляються в перевантаженнях, які виникають під час запуску і гальмуванні космічних кораблів.

2. Сили інерції, що діють на тіло, покоїться під обертається системі відліку. Нехай диск рівномірно обертається з кутовою швидкістю w (w = const) навколо вертикальної осі, що проходить через його центр. На диску, на різних відстанях від осі обертання, встановлені маятники (на нитках підвішені кульки масою m). При обертанні маятників разом з диском кульки відхиляються від вертикалі на деякий кут (рис. 41).

В інерціальній системі відліку, пов'язаної, наприклад, з приміщенням, де встановлений диск, кулька рівномірно обертається по колу радіусом R (відстань від центру обертового кульки до осі обертання). Отже, на нього діє сила, рівна F = mw 2 R і спрямована перпендикулярно осі обертання диска. Вона є рівнодіюча сили тяжіння Р і сили натягу нитки Т: F = P + T. Коли рух кульки встановиться, то F = mg tga = mw 2 R, звідки

т. е. кути відхилення ниток маятників будуть тим більше, чим більше відстань R від центру кульки до осі обертання Діскау чим більше кутова швидкість обертання w.

Щодо системи відліку пов'язаної із диском, що обертається, кулька спочиває, що можливе, якщо сила F урівноважується рівній і протилежно спрямованої їй силою Fц, яка є нічим іншим, як силою інерції, так як на кульку ніякі інші сили не діють. Сила Fц, звана відцентровою силою інерції, спрямована по горизонталі від осі обертання диска і дорівнює

(27.3)

Дії відцентрових сил інерції піддаються, наприклад, пасажири в транспорті, що рухається на поворотах, льотчики при виконанні фігур вищого пілотажу; відцентрові сили інерції використовуються у всіх відцентрових механізмах: насосах, сепараторах і т. д., де вони досягають величезних значень. При проектуванні швидко обертових деталей машин (роторів, гвинтів літаків і т. Д.) Приймаються спеціальні заходи для врівноваження відцентрових сил інерції.

З формули (27.3) випливає, що відцентрова сила інерції, що діє на тіла в обертових системах відліку в напрямку радіусу від осі обертання, залежить від кутової швидкості обертання w системи відліку і радіуса R, але не залежить від швидкості тел щодо обертових систем відліку. Отже, відцентрова сила інерції діє в обертових системах відліку на всі тіла, віддалені від осі обертання на кінцеве відстань, незалежно від того, чи спочивають вони в цій системі (як ми припускали досі) або рухаються щодо неї з якоюсь швидкістю.

3. Сили інерції, що діють на тіло, що рухається під обертається системі відліку. Нехай кулька масою m рухається з постійною швидкістю v 'уздовж радіуса рівномірно обертового диска (v' = coast, w = const, v '^ w). Якщо лоток із диском обертається, то кулька, спрямований уздовж радіуса, рухається по радіальної прямої і потрапляє в точку А, якщо ж диск привести в обертання в напрямку стрілки, то кулька котиться по кривій oв (рис. 42, а), причому його швидкість v 'щодо диска змінює свій напрямок. Це можливо лише тоді, якщо на кульку діє сила, перпендикулярна швидкості v '.

Для того щоб змусити кульку котитися по диска, що обертається уздовж радіуса, використовуємо жорстко укріплений уздовж радіуса диска стрижень, на якому кулька двіжетсябез тертя рівномірно і прямолінійно зі швидкістю v '(рис. 42, б). При відхиленні кульки стрижень діє на нього з деякою силою F. Щодо диска (що обертається системи відліку) кулька рухається рівномірно і прямолінійно, що можна пояснити тим, що сила F урівноважується прикладеної до кульки силою інерції Fк, перпендикулярної швидкості v '. Ця сила називається коріолісовой силою інерції.

Можна показати, що сила Коріоліса *

(27.4)

* Г. Кориолис (1792-1843) - французький фізик і інженер.

Вектор Fк перпендикулярний векторах швидкості v 'тіла і кутової швидкості обертання системи відліку відповідно до правила правого гвинта.

Сила Коріоліса діє тільки на тіла, що рухаються відносно обертової системи відліку, наприклад щодо Землі. Тому дією цих сил пояснюється ряд спостережуваних на Землі явищ. Так, якщо тіло рухається в північній півкулі на північ (рис. 43), то діюча на нього сила Коріоліса, як це випливає з виразу (27.4), буде спрямована вправо по відношенню до напрямку руху, т. Е. Тіло кілька відхилиться на схід . Якщо тіло рухається на південь, то сила Коріоліса також діє вправо, якщо дивитися у напрямку руху, т. Е. Тіло відхилиться на захід. Тому в північній півкулі спостерігається більш сильне підмивання правих берегів річок; праві рейки залізничних колій по руху зношуються швидше, ніж ліві, і т. д. Аналогічно можна показати, що в південній півкулі сила Коріоліса, що діє на рухомі тіла, буде направлена ​​вліво по відношенню до напрямку руху.

Завдяки силі Коріоліса падаючі на поверхню Землі тіла відхиляються на схід (на широті 60 ° це відхилення має становити 1 см при падінні з висоти 100 м). З силою Коріоліса пов'язано поведінку маятника Фуко, що стало свого часу одним із доказів обертання Землі. Якби цієї сили не було, то площину коливань хитається поблизу поверхні Землі маятника залишалася б незмінною (щодо Землі). Дія ж сил Коріоліса призводить до обертання площини коливань навколо вертикального напрямку.

Розкриваючи зміст Fіі у формулі (27.1), отримаємо основний закон динаміки для неінерційній систем відліку:

де сили інерції задаються формулами (27.2) - (27.4).

Звернемо ще раз увагу на те, що сили інерції викликаються не взаємодією тіл, а прискореним рухом системи відліку. Тому вони не підкоряються третім законом Ньютона, так як якщо на будь-яке тіло діє сила інерції, то не існує протидіє сили, яка додається до даного тіла. Два основні положення механіки, згідно з якими прискорення завжди викликається силою, а сила завжди обумовлена ​​взаємодією між тілами, в системах відліку, що рухаються з прискоренням, одночасно не виконуються.

Для будь-якого з тіл, що знаходяться в неінерціальної системи відліку, сили інерції є зовнішніми; отже, тут немає замкнутих систем. Це означає, що в неінерційних системах відліку не виконуються закони збереження імпульсу, енергії і моменту імпульсу. Таким чином, сили інерції діють тільки в неінерційних системах. У інерційних системах відліку таких сил не існує.

Виникає питання про «реальності» або «фіктивності» сил інерції. У ньютонівської механіці, згідно з якою сила є результат взаємодії тіл, на сили інерції можна смотретькак на «фіктивні», «зникаючі» в інерційних системах відліку. Однак можлива й інша їхня інтерпретація. Таккак взаємодії тел здійснюються за допомогою силових полів, то сили інерції рассматріваютсякак впливу, яким піддаються тіла з боку якихось реальних силових полів, і тоді їх можна вважати «реальними». Незалежно від того, чи розглядаються сили інерції як «фіктивних» або «реальних», багато явищ, про які згадувалося в цьому параграфі, пояснюються за допомогою сил інерції.

Сили інерції, що діють на тіла в неінерціальної системи відліку, пропорційні їх масам і при інших рівних умовах повідомляють цих тіл однакові прискорення. Тому в «поле сил інерції» ці тіла рухаються абсолютно однаково, якщо тільки однакові початкові умови. Тим же властивістю володіють тіла, що знаходяться під дією сил поля тяжіння.

При деяких умовах сили інерції і сили тяжіння неможливо розрізнити. Наприклад, рух тіл в равноускоренном ліфті відбувається точно так само, як і в нерухомому ліфті, що висить в однорідному полі тяжіння. Ніякої експеримент, виконаний всередині ліфта, не може відокремити однорідне поле тяжіння від однорідного поля сил інерції.

Аналогія між силами тяжіння і силами інерції лежить в основі принципу еквівалентності гравітаційних сил і сил інерції (принципу еквівалентності Ейнштейна): всі фізичні явища в поле тяжіння відбуваються абсолютно так само, як і у відповідному полі сил інерції, якщо напруженості обох полів у відповідних точках простору збігаються, а інші початкові умови для розглядуваних тіл однакові. Цей принцип є основою загальної теорії відносності.

завдання

5.1. Два однакових однорідних кулі з однакового матеріалу, стикаючись один з одним, притягуються. Визначити, як зміниться сила тяжіння, якщо масу куль збільшити в n = 4 рази. [Зросте в 6,35 рази]

5.2. Щільність речовини деякої кулястої планети становить 3 г / см3. Яким повинен бути період обертання планети навколо власної осі, щоб на екваторі тіла були невагомими? [Т = = 1,9 ч]

5.3. Визначити, в якій точці (рахуючи від Землі) на прямій, що з'єднує центри Землі і Місяця, напруженість поля тяжіння дорівнює нулю. Відстань між центрами Землі і Місяця дорівнює R, маса Землі в 81 разів більше маси Місяця. [0,9 R]

5.4. Два однакових однорідних кулі з однакового матеріалу стикаються один з одним. Визначити, як зміниться потенційна енергія їх гравітаційної взаємодії, якщо масу куль збільшити в чотири рази. [Зросте в 14,6 рази]

5.5. Два супутника однакової маси рухаються навколо Землі по кругових орбітах радіусів R 1 і R 2. Визначити: 1) відношення повних енергій супутників (E 1 / E 2); 2) ставлення їх моментів імпульсу (L 1 / L 2). [1) R 2 / R 1; 2) ]

5.6. Вагон котиться вздовж горизонтальної ділянки дороги. Сила тертя становить 20% від ваги вагона. До стелі вагона на нитці підвішений кулька масою 10 г. Визначити: 1) силу, що діє на нитку; 2) кут відхилення нитки від вертикалі. [1) 0,10 Н; 2) 11 ° 35 ']

5.7. Тіло масою 1,5 кг, падаючи вільно протягом 5 с, потрапляє на Землю в точку з географічною широтою j = 45 °. З огляду на обертання Землі, намалювати і визначити всі сили, що діють на тіло в момент його падіння на Землю. [1) 14,7 Н; 2) 35,7 Н; 3) 7,57 мН]

Глава 6Елементи механіки рідин

§ 28. Тиск в рідині і газі

Молекули газу, здійснюючи безладне, хаотичне рух, не пов'язані або дуже слабо пов'язані силами взаємодії, тому вони рухаються вільно і в результаті зіткнень прагнуть розлетітися в різні боки, заповнюючи весь наданий їм об'єм, т. Е. Обсяг газу визначається обсягом того судини, який газ займає.

Рідина ж, маючи певний обсяг, приймає форму того судини, в який вона укладена. Але в рідинах на відміну від газів середня відстань між молекулами залишається практично постійним, тому рідина має практично незмінним обсягом.

Одиниця тиску - паскаль (Па): 1 Па дорівнює тиску, який створюється силою 1 Н, рівномірно розподіленим по нормальної до неї поверхні площею 1м2 (1 Па = 1 Н / м2).

Тиск при рівновазі рідин (газів) підкоряється закону Паскаля *: тиск в будь-якому місці спочиває рідини однаково по виттям напрямками, причому тиск однаково передається по всьому об'єму, зайнятого спочиває рідиною.

* Б. Паскаль (1623-1662) - французький вчений.

Розглянемо, як впливає вага рідини на розподіл тиску всередині спочиває нестисливої ​​рідини. При рівновазі рідини тиск по горизонталі завжди однаково, інакше не було б рівноваги. Тому вільна поверхня спочиває рідини завжди горизонтальна далеко від стінок посудини. Якщо рідина нестислива, то її щільність не залежить від тиску. Тоді при поперечному перерізі S стовпа рідини, його висоті h і щільності r вага P = rgSh, а тиск на нижню підставу

(28.1)

т. е. тиск змінюється лінійно з висотою. Тиск rgh називається гідростатичним тиском.

Відповідно до формули (28.1), сила тиску на нижні шари рідини буде більше, ніж на верхні, тому на тіло, занурене в рідину, діє сила, яка визначається законом Архімеда: на тіло, занурене в рідину (газ), діє з боку цієї рідини спрямована вгору виштовхуюча сила, рівна вазі витісненої тілом рідини (газу):

F А = PgV,

де р - щільність рідини, V- обсяг зануреного в рідину тіла.

§ 29. Рівняння нерозривності

Рух рідин називається течією, а сукупність часток рідини, що рухається - потоком. Графічно рух рідин зображується за допомогою ліній струму, які проводяться так, що дотичні до них збігаються за напрямком з вектором швидкості рідини у відповідних точках простору (рис. 45). Лінії струму проводяться так, щоб густота їх, яка характеризується відношенням числа ліній до площі перпендикулярної їм майданчики, через яку вони проходять, була більше там, де більше швидкість течії рідини, і менше там, де рідина тече повільніше. Таким чином, по картині ліній струму можна судити про направлення і модулі швидкості в різних точках простору, т. Е. Можна визначити стан руху рідини. Лінії струму в рідині можна «проявити», наприклад, підмісивши в неї будь-які помітні зважені частинки.

Частина рідини, обмежену лініями струму, називають трубкою струму. Перебіг рідини називається сталим (або стаціонарним), якщо форма і розташування ліній струму, а також значення швидкостей в кожній її точці з часом не змінюються.

Розглянемо будь-яку трубку струму. Виберемо два її перетину S 1 і S 2, перпендикулярні напрямку швидкості (рис. 46).

За годину D t через перетин S проходити об'єм Рідини Sv D t; отже, за 1 с через S 1 пройде ОБСЯГИ Рідини S 1 v 1, де v 1 - ШВИДКІСТЬ течії Рідини в місці перетин S 1. Через перетин S 2 за 1 з пройде ОБСЯГИ Рідини S 2 v 2, де v 2 - ШВИДКІСТЬ течії Рідини в місці перетин S 2. Тут передбачається, что ШВИДКІСТЬ Рідини в перерізі Постійна. Якщо рідина нестислива (r = const), то через перетин S 2 пройде такий же обсяг рідини, як і через перетин S 1, т. Е.

(29.1)

Отже, твір швидкості течії нестисливої ​​рідини на поперечний переріз трубки струму є величина постійна для даної трубки струму. Співвідношення (29.1) називається рівнянням нерозривності для нестисливої рідини.

§ 30. Рівняння Бернуллі і слідства з нього

Виділимо в стаціонарно поточної ідеальної рідини (фізична абстракція, т. Е. Уявна рідина, в якій відсутні сили внутрішнього тертя) трубку струму, обмежену перерізами S 1 і S 2, по якій зліва направо тече рідина (рис. 47). Нехай в місці перетину S 1 швидкість течії v 1, тиск p 1 і висота, на якій це перетин розташоване, h 1. Аналогічно, в місці перетину S 2 швидкість течії v 2, тиск p 2 і висота перерізу h 2. За малий проміжок часу D t рідина переміщається від перетину S 1 до перетину , Від S 2 до .

Відповідно до закону збереження енергії, зміна повної енергії E 2 -E 1 ідеальної нестисливої рідини має дорівнювати роботі А зовнішніх сил по переміщенню маси m рідини:

E 2 - E 1 = А, (30.1)

де E 1 і E 2 - повні енергії рідини масою m в місцях перетинів S 1 і S 2 відповідно.

З іншого боку, А - це робота, що здійснюються при переміщенні всієї рідини, укладеної між перетинами S 1 і S 2, за аналізований малий проміжок часу D t. Для перенесення маси m від S 1 до рідина повинна переміститися на відстань l 1 = v 1D t і від S 2 до - на відстань l 2 = v 2D t. Відзначимо, що l 1 і l 2 настільки малі, що всі точки обсягів, зафарбованих на рис. 47, приписують постійні значення швидкості v, тиску р і висоти h. отже,

А = F 1 l 1 + F 2 l 2, (30.2)

де F 1 = p 1 S 1 і F 2 = - p 2 S 2 (негативна, так як спрямована в бік, протилежний течії рідини; рис. 47).

Повні енергії E 1 і E 2 складатимуться з кінетичної і потенційної енергій маси m рідини:

(30.3)

(30.4)

Підставляючи (30.3) і (30.4) в (30.1) і прирівнюючи (30.1) і (30.2), отримаємо

(30.5)

Відповідно до рівняння нерозривності для нестисливої ​​рідини (29.1), обсяг, яку він обіймав рідиною, залишається постійним, т. Е.

Розділивши вираз (30.5) на D V, отримаємо

де р - щільність рідини. Але так як перетину вибиралися довільно, то можемо записати

(30.6)

Вираз (30.6) виведено швейцарським фізиком Д. Бернуллі (1700-1782; опубліковано в 1738 р) і називається рівнянням Бернуллі. Як видно з його виведення, рівняння Бернуллі - вираз закону збереження енергії стосовно до сталого перебігу ідеальної рідини. Воно добре виконується і для реальних рідин, внутрішнє тертя яких не дуже велике.

Величина р у формулі (30.6) називається статичним тиском (тиск рідини на поверхню обтічного нею тіла), величина rv2 / 2 - динамічним тиском. Як вже зазначалося вище (див. § 28), величина rgh є гідростатичний тиск.

Для горизонтальної трубки струму (h 1 = h 2) вираз (30.6) набирає вигляду

(30.7)

де p + rv 2/2 називається повним тиском.

З рівняння Бернуллі (30.7) для горизонтальної трубки струму і рівняння нерозривності (29.1) випливає, що при перебігу рідини по горизонтальній трубі, що має різні перетину, швидкість рідини більше в місцях звуження, а статичний тиск більше в більш широких місцях, т. Е. там, де швидкість менше. Це можна продемонструвати, встановивши уздовж труби ряд манометрів (рис. 48). Відповідно до рівняння Бернуллі досвід показує, що в манометричної трубці В, прикріпленою до вузької частини труби, рівень рідини нижче, ніж в манометрических трубках А і С, прикріплених до широкої частини труби.

Так як динамічний тиск пов'язано зі швидкістю руху рідини (газу), то рівняння Бернуллі дозволяє вимірювати швидкість потоку рідини. Для цього застосовується трубка Піто - Прандтля (рис. 49). Прилад складається з двох вигнутих під прямим кутом трубок, протилежні кінці яких приєднані до манометру. За допомогою однієї з трубок вимірюється повний тиск (р 0), за допомогою іншої - статична (р). Манометром вимірюють різницю тисків:

(30.8)

де ро - щільність рідини в манометрі. З іншого боку, відповідно до рівняння Бернуллі, різниця повного і статичного тисків дорівнює динамічному тиску:

(30.9)

З формул (30.8) і (30.9) отримуємо шукану швидкість потоку рідини:

Зменшення статичного тиску в точках, де швидкість потоку більше, покладено в основу роботи водострумного насоса (рис. 50). Струмінь води подається в трубку, відкриту в атмосферу, так що тиск на виході з трубки дорівнює атмосферному. У трубці є звуження, за яким вода тече з більшою швидкістю. У цьому місці тиск менше атмосферного. Це тиск встановлюється і в відкачали посудині, який пов'язаний з трубкою через розрив, який є в її вузькій частині. Повітря захоплюється випливає з великою швидкістю водою з вузького кінця. Таким чином можна відкачувати повітря з посудини до тиску 100 мм рт. ст. (1 мм рт. Ст. = 133,32 Па).

Рівняння Бернуллі використовується для знаходження швидкості витікання рідини через отвір в стінці або дні посудини. Розглянемо циліндричну посудину з рідиною, в бічній стінці якого на певній глибині нижче рівня рідини є маленький отвір (рис. 51).

Розглянемо два перетину (на рівні h 1 вільної поверхні рідини в посудині і на рівні h 2 виходи її з отвору) і напишемо рівняння Бернуллі:

Так як тиску р 1 і р 2 в рідини на рівнях першого і другого перетинів рівні атмосферному, т. Е. Р 1 = р 2, то рівняння матиме вигляд

З рівняння нерозривності (29.1) випливає, що v 2 / v 1 = S 1 / S 2, де S 1 і S 2 - площі поперечних перерізів судини і отвори. Якщо S 1 >> S 2, то членом v / 2 можна знехтувати і

Цей вислів отримало назву формули Торрічеллі. *

* Е. Торрічеллі (1608-1647) - італійський фізик і математик.

§ 31. В'язкість (внутрішнє тертя). Ламінарний і турбулентний режими течії рідин

В'язкість (внутрішнє тертя) - це властивість реальних рідин чинити опір переміщенню однієї частини рідини відносно іншої. При переміщенні одних верств реальної рідини щодо інших виникають сили внутрішнього тертя, спрямовані по дотичній до поверхні шарів. Дія цих сил проявляється в тому, що з боку шару, що рухається швидше, на шар, що рухається повільніше, діє прискорювальна сила. З боку ж шару, що рухається повільніше, на шар, що рухається швидше, діє гальмівна сила.

Дата додавання: 2014-10-31; переглядів: 21; Порушення авторських прав