1. 4.6. Точність і кількість реалізацій моделі при визначенні середніх значень параметрів Знайдемо...
2. 4.6.2. Визначення оцінки дисперсії

4.6. Точність і кількість реалізацій моделі при визначенні середніх значень параметрів

Знайдемо функціональну зв'язок точності е і достовірності а з кількістю реалізацій моделі, коли в якості показників ефективності виступають матожіданіє і дисперсія деякої випадкової величини (часу, відстані і т. П.).

4.6.1. Визначення оцінки матожіданія

Знайдемо шукану зв'язок для випадку, коли метою експерименту є визначення оцінки матожіданія деякої випадкової величини.

В прогонах моделі отримані незалежні значення даного нас показника ефективності:

В якості оцінки матожіданія візьмемо вибіркове середнє (середнє арифметичне):

У наступній темі ми покажемо, що оцінка такого виду є найкращою.

Згідно центральній граничній теоремі, якщо значення незалежні і мають кінцеві дисперсії одного порядку, то при великому числі доданків випадкова величина має практично нормальний розподіл з матожиданием і дисперсією відповідно:

де - дисперсія шуканої випадкової величини

Отже, справедливо

де - інтеграл ймовірності.

У деяких виданнях під інтегралом ймовірності розуміють дещо інше вираз, тому доцільно користуватися інтегралом Лапласа, який пов'язаний з інтегралом ймовірності

так: . - інтеграл Лапласа. З наведеного випливає:

Порівнюючи цей вираз з виразом (4.1), маємо:

Інтеграл Лапласа табульованих, отже, задаючись значенням достовірності , Визначається аргумент .

Отже, шукана зв'язок між точністю , достовірністю і числом реалізацій моделі отримана:

З виразів (4.2) слід:

Достовірність результату вказана значенням аргументу функції Лапласа . зв'язок значення з знаходиться з таблиці значень функції (інтеграла) Лапласа. Найбільш вживані відповідності і наведені в табл. 4.3 .

Щоб користуватися формулами (4.2), потрібно знати дисперсію . Дуже рідкісні випадки, коли значення дисперсії відомо до експерименту, тому можливі два способи попереднього визначення дисперсії.

Перший спосіб. Іноді заздалегідь відомий розмах значень шуканої випадкової величини:

У припущенні нормального розподілу випадкової величини , Можна з використанням "правила трьох сигм" отримати наближену оцінку :

Другий спосіб. Треба скористатися оцінкою дисперсії. Для цього необхідно виконати попередній прогін моделі в кількості реалізацій. З використанням отриманого ряду , Знайдемо оцінку дисперсії:

тут - середньоарифметичне значення по вимірам. І в цьому випадку формули (4.2) мають вигляд:

обчислену дисперсію підставимо в формулу для визначення . якщо виявиться то моделювання повинно бути продовжено до виконання реалізацій. Якщо ж , То моделювання закінчується. необхідна точність оцінки випадкової величини (Шуканого показника ефективності) при заданій достовірності досягнута.

Якщо в технічних умовах задана відносна точність , То формули (4.3) приймають вид:

значення визначається на підставі прогонів моделі. Всі подальші розрахунки аналогічні щойно розглянутим аналітичним виразами.

Вищенаведені міркування і вирази були справедливі в припущенні нормального закону розподілу випадкової величини . Якщо в цьому є сумнів, то для визначення зв'язку , і можна скористатися нерівністю Чебишева П. Ф .:

З урахуванням напрямку знаків нерівностей отримаємо:

Також як і в попередніх випадках замість невідомої дисперсії слід використовувати її оцінку , Обчислену за даними прогонів моделі. І ще: звернемо увагу, що в даному випадку достовірність бере участь в формулах в явному вигляді.

Отже, в виразах (4.3) ми замість невідомої дисперсії використовуємо її оцінку . У цьому випадку замість аргументу функції Лапласа треба використовувати параметр розподілу Стьюдента , Значення якого залежать не тільки від рівня достовірності , Але і від числа так званих ступенів свободи . Тут, як і раніше, - число прогонів моделі. Взагалі-то, при розподіл Стьюдента прагне до нормального розподілу, але при малому числі прогонів моделі помітно відрізняється від .

Для практичних цілей значення можна взяти з табл. 4.4 .

з табл. 4.4 видно, що при значення і практично збігаються. Але при менших значеннях слід користуватися величиною .

4.6.2. Визначення оцінки дисперсії

Ми навчилися знаходити оцінку матожіданія деякої випадкової величини із заданими точністю і достовірністю.

Тепер розглянемо задачу визначення оцінки дисперсії випадкової величини також із заданими точністю і достовірністю.

Опустимо висновок і наведемо остаточний вигляд формул для розрахунку і :

де - емпіричний центральний момент четвертого порядку:

невідоме значення замінюється оцінкою , Як було розглянуто раніше.

Якщо визначається випадкова величина має нормальний розподіл, то і вирази для і приймають вид:

Як і раніше при малих значеннях ( ) Слід використовувати параметр розподілу Стьюдента .

З зіставлення (4.3) і (4.4) випливає, що один і той же кількість реалізацій моделі забезпечить різне значення помилки при оцінці матожіданія випадкової величини і її дисперсії - при однаковій достовірності. І інакше: однакову точність визначення оцінок матожіданія і дисперсії випадкового параметра при однаковій достовірності забезпечить різну кількість реалізацій моделі.

Приклад 4.5. В результаті попередніх прогонів моделі визначена оцінка дисперсії .

Визначити число реалізацій моделі і для визначення оцінок матожіданія і дисперсії випадкової величини відповідно з точністю і достовірністю

Рішення