1. Властивості функції щільності розподілу f (x) Для неперервної випадкової величини можна визначити...

Властивості функції щільності розподілу f (x)

Для неперервної випадкової величини можна визначити не тільки функцію розподілу, яка є інтегральною характеристикою випадкової величини, а й диференціальну функцію. Така функція називається щільністю розподілу або диференціальним законом розподілу випадкової величини.

Для визначення функції щільності розподілу розіб'ємо весь інтервал на елементарні відрізки . Тоді ймовірність попадання випадкової величини в цей інтервал буде (по властивості 2) одно

Розділимо останній вираз на і будемо зменшувати до нуля. Тоді, переходячи до межі, отримаємо
Мал. 9.4. Функція щільності розподілу ймовірностей

Крива функції щільності розподілу (4) матиме вигляд, представлений на рис.9.4 . Очевидно, що буде первісної функції , Тобто використовуючи визначення інтеграла, можна встановити математичну залежність між і , Тобто за визначенням інтеграла

функція розподілу чисельно дорівнює площі під кривою на інтервалі . Тоді, на підставі властивості 4 функції розподілу, можна записати

Визначення. Випадкова величина називається неперервною, якщо її функція розподілу представлена ​​безперервною функцією для будь-якої точки з області , А функція щільності розподілу існує всюди, за винятком, може бути, кінцевого числа точок.

Внаслідок рівності (4) з властивостей функції розподілу випливають властивості функції щільності розподілу .

Властивість 1. Диференціальна функція розподілу нейтрально для будь-якого з її області визначення .

Властивість 2. Ймовірність влучення неперервної випадкової величини в інтервал дорівнює певному інтегралу від функції щільності розподілу на цьому інтервалі

Властивість 3. Інтегральна функція розподілу випадкової величини може бути виражена через функцію щільності ймовірностей за формулою

Властивість 4. Площа під кривою щільності розподілу на всій її області визначення дорівнює одиниці

Властивість 5. Математичне сподівання неперервної випадкової величини обчислюється за формулою

Властивість 6. Дисперсія неперервної випадкової величини обчислюється за формулою

де обчислюється за формулою (8).

Рівномірний розподіл

Безперервна випадкова величина має рівномірний розподіл на і полуінтервале , Якщо на цьому інтервалі щільність розподілу випадкової величини ( ріс.9.6 ) Постійна, а поза цим інтервалом дорівнює нулю, тобто

Мал.9.6.

Функція щільності розподілу ймовірностей

Такий розподіл випадкової величини ще називають законом рівномірної щільності. знайдемо величину , Користуючись властивістю 4 функції щільності розподілу і формулами (7) і (10):

звідки отримуємо Таким чином, формула (10) з урахуванням результату (11) запишеться у вигляді Тоді функція розподілу по (6) з урахуванням (12) має вигляд тобто Графік функції (14) зображений на ріс.9.7 .
Мал. 9.7. Функція розподілу залежно

Визначимо тепер математичне очікування на підставі властивості 5 і формул (8) і (12) для рівномірного розподілу. отримаємо

Властивість математичного очікування, виражене формулою (15) є ознакою, за яким можна встановити, що дані експериментального ряду розподілені по рівномірному закону. Це можна використовувати і для дискретного ряду.

Приклад 2. Визначити тип розподілу для варіаційного ряду

Таблиця можливих результатів Xi 1 2 3 4 5 6 Mi 3 2 6 7 5 2

Рішення. Знайдемо математичне сподівання ряду по звичайній формулі

і обчислимо за формулою (15) Порівнюючи результати, отримуємо, що обидва значення розрізняються між собою менше, ніж на 10%, тому робимо висновок, що даний варіаційний ряд, швидше за все, підпорядковується рівномірному закону.

Визначимо інші статистичні характеристики розподілу.

так як розподіл симетрично щодо свого середнього значення

Характеристики (16) - (20) рівномірного розподілу можна використовувати всякий раз, коли по (15) встановлено, що даний експериментальний ряд підпорядковується рівномірному закону розподілу.