Статьи

Еліпс і окружність. Доступний курс аналітичної геометрії

  1. Поняття алгебраїчної лінії і її порядку
  2. Що таке канонічний вид рівняння?
  3. Класифікація ліній другого порядку
  4. Еліпс і його канонічне рівняння
  5. Як побудувати еліпс?
  6. Визначення еліпса. Фокуси еліпса і ексцентриситет еліпса
  7. Як знайти фокуси еліпса?
  8. Ексцентриситет еліпса і його геометричний сенс
  9. Окружність - це окремий випадок еліпса
  10. Поворот і паралельне перенесення еліпса

Після ґрунтовного опрацювання прямих на площині продовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже почалася, і спочатку коротка інформація про всю експозиції на різних поверхах музею:

Поняття алгебраїчної лінії і її порядку

Лінію на площині називають алгебраїчною, якщо в аффинной системі координат її рівняння має вигляд , де - многочлен, що складається з доданків виду ( - дійсне число, - цілі невід'ємні числа).

Як бачите, рівняння алгебри лінії не містить синусів, косинусів, логарифмів і іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» і «ігреки» в цілих невід'ємних ступенях.

Далі під словом «лінія» за замовчуванням буде матися на увазі алгебраїчна лінія на площині

Порядок лінії дорівнює максимальному значенню що входять в нього доданків.

За відповідної теореми, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору аффинной системи координат , Тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце бути в декартових координатах .

Загальне рівняння лінії другого порядку має вигляд , де - довільні дійсні числа ( прийнято записувати з множітелем- «двійкою»), причому коефіцієнти нерівні одночасно нулю.

якщо , То рівняння спрощується до , І якщо коефіцієнти одночасно не рівні нулю, то це в точності загальне рівняння «плоскою» прямий , Яка представляє собою лінію першого порядку.

Багато хто зрозумів сенс нових термінів, але, тим не менш, з метою 100% -го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі складові її рівняння і у кожного з них знайти суму ступенів входять змінних.

наприклад:

доданок містить «ікс» в 1-го ступеня;
доданок містить «ігрек» в 1-го ступеня;
в слагаемом змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.

Далі з отриманих чисел вибирається максимальне значення, в даному випадку одиниця, - це і є порядок лінії.

Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другого порядку:

доданок містить «ікс» у 2-го ступеня;
у доданка сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «ігрек» у 2-го ступеня;
всі інші складові - меншою мірою.

Максимальне значення: 2

Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, , То воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вид рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних в яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти нерівні одночасно нулю.

У тому випадку, якщо додати одне або декілька відповідних доданків, які містять , То мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.

З алгебраїчними лініями 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярної системою координат .

Однак повернемося до загального рівняння і згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола , Рівняння якої легко привести до загального вигляду , І гіпербола з еквівалентним рівнянням . Однак не все так гладко ....

Істотний недолік загального рівняння полягає в тому, що в більшості випадків не зрозуміло, яку лінію воно задає. Навіть в найпростішому випадку не відразу збагнеш, що це гіпербола. Такі розклади гарні тільки на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типова задача приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду .

Що таке канонічний вид рівняння?

Це загальноприйнятий стандартний вид рівняння, коли в лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вид дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, з канонічного рівняння «Плоскою» прямий , По-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге - елементарно проглядається належить їй точка і спрямовує вектор .

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядку представляє собою пряму. На другому ж поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато більш різноманітна компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку приводиться до одного з наступних видів:

( і - позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) - уявний еліпс;

5) - пара пересічних прямих;

6) - пара уявних пересічних прямих (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) - пара паралельних прямих;

8) - пара уявних паралельних прямих;

9) - пара збіглися прямих.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, в пункті № 7 рівняння задає пару прямих , Паралельних осі , І виникає питання: а де ж рівняння , Що визначає прямі , Паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. прямі являють собою той же самий стандартний випадок , Повернений на 90 градусів, і додаткова запис в класифікації надлишкова, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і тільки дев'ять різних видів ліній 2-го порядку, але на практиці найбільш часто зустрічаються еліпс, гіпербола і парабола .

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значення для вирішення завдань, і якщо вам необхідний детальний висновок формул, доведення теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базильова / Атанасян або Александрова.


Еліпс і його канонічне рівняння

Правопис ... будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати еллібз», «відмінність еліпса від овалу» і «ексцентриситет елебса».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки самий час відпочити від говорильні і вирішити поширену задачу:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім грамотно справляються з кресленням:

приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного виду:

Навіщо приводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє моментально визначити вершини еліпса, які знаходяться в точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .

В даному випадку :

відрізок називають великою віссю еліпса;
відрізок - малої віссю;
число називають велика піввісь еліпса;
число - малої полуосью.
в нашому прикладі: .

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс досить подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все гаразд, складно і красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак в сувору дійсність на столі лежить картатий листок паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (правда, трохи менше). Таки недарма людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир і інші нехитрі пристосування для креслення.

З цієї причини нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще так-сяк, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями . Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але в загальному випадку вкрай бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса - геометричний і алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не самого короткого алгоритму і суттєвою захаращеності креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а в реальності ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- визначає верхню дугу еліпса;
- визначає нижню дугу еліпса.

Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, а також щодо початку координат. І це чудово - симетрія майже завжди провісник халяви. Очевидно, що досить розібратися з 1-й координатної чвертю, тому нам буде потрібно функція . Напрошується знаходження додаткових точок з абсциссами . Настукаем три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно і те, що якщо допущена серйозна помилка в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Відзначимо на кресленні точки (Червоний колір), симетричні точки на інших дугах (синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:

Первинний нарис краще прокреслити тонко-тонко, і тільки потім додати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не бажаєте дізнатися, що це за крива?


Визначення еліпса. Фокуси еліпса і ексцентриситет еліпса

Еліпс - це окремий випадок овалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському розумінні ( «дитина намалював овал» і т.п.). Це математичний термін, що має розгорнуту формулювання. Метою даного уроку не є розгляд теорії овалів і різних їх видів, яким практично не приділяється уваги в стандартному курсі аналітичної геометрії. І, відповідно до більш актуальними потребами, ми відразу переходимо до суворому визначенню еліпса:

Еліпс - це безліч всіх точок площині, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок , Званих фокусами еліпса, - є величина постійна, чисельно рівна довжині великої осі цього еліпса: .
При цьому відстані між фокусами менше даного значення: .

Зараз стане все зрозуміліше:

Уявіть, що синя точка «їздить» по еліпсу. Так ось, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією ж:

Переконаємося, що в нашому прикладі значення суми дійсно дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» в праву вершину еліпса, тоді: , Що і було потрібно перевірити.

На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика, часом, причина напруги і стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий аркуш картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси . До стирчить капелюшках цвяхів прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця виявиться в деякій точці , Яка належить еліпсу. Тепер починайте вести олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутої. Продовжуйте процес до тих пір, поки не повернетеся у вихідну точку ... відмінно ... креслення можна здати на перевірку лікаря викладачеві =)

Як знайти фокуси еліпса?

У наведеному прикладі я зобразив «готовенькі» точки фокусу, і зараз ми навчимося добувати їх з надр геометрії.

Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням , То його фокуси мають координати , де - це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.

Обчислення простіше простого:

! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів! Повторюся, що - це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру (який в загальному випадку не зобов'язаний розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного положення еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться незмінним, в той час як фокуси, природно, поміняють свої координати. Будь ласка, враховуйте даний момент в ході подальшого вивчення теми.

Їдемо далі:

Ексцентриситет еліпса і його геометричний сенс

Ексцентриситетом еліпса називають відношення , Яке може набувати значень в межах .

У нашому випадку:

З'ясуємо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву і праву вершини розглянутого еліпса, тобто, значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .

Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо тільки в тому випадку, якщо . Що це означає? ... згадуємо про фокуси . Це означає, що фокуси еліпса будуть «роз'їжджатися» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись все в більш і більш тонку сосиску, нанизану на вісь .

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгасті.

Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає все менше і, відповідно, ексцентриситет прагне до нуля: .
При цьому «зеленим відрізках» буде, навпаки - «ставати тісно» і вони почнуть «виштовхувати» лінію еліпса вгору і вниз.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий на ... дивимося граничний випадок , Коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:

Окружність - це окремий випадок еліпса

Дійсно, в разі рівності піввісь канонічне рівняння еліпса набирає вигляду , Який рефлекторно перетвориться до - добре відомому зі школи рівняння кола з центром на початку координат радіуса «а».

На практиці частіше використовують запис з «говорить» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка , При цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.

Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися , І сума довжин збіглися відрізків для кожної точки окружності - є величина постійна. Так як відстань між фокусами , То ексцентриситет будь-кола дорівнює нулю.

Будується коло легко і швидко, досить озброїтися циркулем. Проте, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, в цьому випадку йдемо знайомим шляхом - наводимо рівняння до бадьорого матановскому увазі:

- функція верхньої півкола;
- функція нижньої півкола.

Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюючи , інтегруємо і робимо інші хороші речі.

Стаття, звичайно, носить довідковий характер, але як на світі без любові прожити? Творче завдання для самостійного рішення

приклад 2

Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один з його фокусів і мала піввісь (Центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки і зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.

Рішення і креслення в кінці уроку

Додамо екшену:


Поворот і паралельне перенесення еліпса

Повернемося до канонічного рівняння еліпса , А саме, до умови , Загадка якого терзає допитливі ще з часів першої згадки про даної кривої. Ось ми розглянули еліпс , Але хіба на практиці не може зустрітися рівняння ? адже тут , Однак, це начебто як теж еліпс!

Подібне рівняння нечасто, але дійсно трапляється. І воно дійсно визначає еліпс. Розвіємо містику:

В результаті побудови отриманий наш рідний еліпс, повернений на 90 градусів. Тобто, - це неканонічна запис еліпса . Запис! - рівняння НЕ задає якийсь інший еліпс, оскільки на осі не існує точок (Фокусів), які б задовольняли визначенням еліпса.

Як бути, якщо таке диво-яйце все-таки трапилося на життєвому шляху? У тому випадку якщо вам запропоновано побудувати еліпс, то, напевно, краще побудувати його в нестандартному вигляді. З вершинами і додатковими точками, думаю, проблем не виникне. Але якщо вам запропоновано знайти фокуси, ексцентриситет і т.д., то настійно рекомендую почати (або продовжити після креслення) рішення так:

«Повернемо еліпс на 90 градусів і перепишемо його рівняння в канонічному вигляді: »- далі за звичайною схемою.

! Примітка: в теорії прийнято повертати не саму фігуру, а осі! І якщо від вас ПОТРІБНО привести рівняння до канонічного виду , То рішення, строго кажучи, слід оформити інакше: «Перейдемо до нової прямокутної системі координат , Повернувши координатні осі на 90 градусів проти годинникової стрілки, і запишемо рівняння еліпса в канонічному вигляді: ».

Втім, ерудити можуть встати на слизьку доріжку плутанини, модифікувавши всі розрахунки з урахуванням повороту. Але все одно не раджу. Тому що по-дитячому. Адже еліпс можна повернути і на інший кут =) Про це ми ще поговоримо пізніше.

У практичних завданнях набагато частіше зустрічається паралельний перенос еліпса:

рівняння задає еліпс з велика піввісь «а», малої полуосью «бе» і центром симетрії в точці .

Зобразимо на кресленні еліпс . Відповідно до формули: , Тобто наш піддослідний еліпс «переїхав» у точку :

значення залишилися колишніми, а ось фокуси, зрозуміло, мігрували, і формули їх координат доведеться знаходити з поправкою на відповідні зрушення:

Тут все обходиться значно простіше, ніж при повороті, і якщо за умовою не потрібно приводити рівняння до канонічного виду, то особисто я вважатиму за краще залишити його у вигляді . Що робити, якщо потрібно приводити? «Чайникам» в більшості випадків пробачать фразу: «Здійснимо паралельний перенос еліпса в початок координат і перепишемо рівняння в канонічному вигляді: ». Але академічний підхід передбачає паралельний перенос не самої фігури, а системи координат! Тому людям, що вивчають вищу математику за профілем і / або поглиблено, набагато краще загорнути приблизно наступне: «За допомогою паралельного перенесення вихідної системи координат перейдемо до нової прямокутної системі координат з початком в точці і запишемо рівняння еліпса в канонічному вигляді ».

Насправді спрощена версія формули нам знайома ще зі шкільних часів:

рівняння задає коло радіуса з центром в точці .

Освіжаючи ностальгічні спогади, зобразимо на кресленні окружність, задану рівнянням :

У дослідницьких цілях наведемо наше рівняння до загального вигляду, виконавши зведення в квадрат і приведення подібних доданків:

- як правило, в такому вигляді воно і зустрічається в природі.

Таким чином, в практичних завданнях часто попередньо потрібно виконати зворотну дію - виділити повні квадрати. Даний прийом докладно розібраний на уроках про геометричних перетвореннях графіків и інтегруванні дробів . Хоча наступний простий приклад не повинен викликати у вас труднощів навіть без відпрацювання даного методу:

приклад 3

Побудувати графік лінії, заданої рівнянням

Рішення і креслення в кінці уроку.

На практиці еліпс (як і інші лінії) може бути одночасно повернутий на будь-який кут щодо свого канонічного положення і перенесений в будь-яку точку, відмінну від початку координат. В такому випадку вирішується звичайне завдання приведення лінії 2-го порядку до канонічного вигляду , До якої я потихеньку почав вас готувати вже сьогодні.

Ну а поки самий час перейти до другої частини лекції, де жертвами стануть гіпербола і парабола .

Рішення і відповіді:

Автор: Ємелін Олександр


Вища математика для заочників і не тільки >>>

(Перехід на головну сторінку)

Що таке канонічний вид рівняння?
До речі, чи не бажаєте дізнатися, що це за крива?
Що це означає?
Стаття, звичайно, носить довідковий характер, але як на світі без любові прожити?
Як бути, якщо таке диво-яйце все-таки трапилося на життєвому шляху?
Що робити, якщо потрібно приводити?