§1. Середнє число зіткнень і середня довжина вільного пробігу молекул

Беручи участь в тепловому русі, молекули газу весь час стикаються один з одним. Середня відстань, яку проходить молекулою між двома послідовними зіткненнями, називається середньою довжиною вільного пробігу.

За секунду молекула в середньому проходить відстань, чисельно рівне її середньої швидкості . Якщо за цей же час вона в середньому відчуває зіткнень з іншими молекулами, то її середня довжина вільного пробігу , Очевидно, буде дорівнює

Припустимо, що всі молекули, крім однієї, і без листя. Молекули вважатимемо кулями з діаметром D. Зіткнення відбуватимуться кожного разу, коли центр нерухомої молекули виявиться на відстані меншій, ніж D від прямої, уздовж якої рухається центр розглянутої молекули. При зіткненнях молекула змінює напрямок свого руху і потім рухається прямолінійно до наступного зіткнення. Тому центр рухається молекули через зіткнень рухається по ламаній лінії (рис.35).

Молекула зіткнеться з усіма нерухомими молекулами, центри яких знаходяться в межах ламаного циліндра діаметра 2 D. За секунду молекула проходить шлях, рівний . Тому число відбуваються за цей час зіткнень дорівнює числу молекул, центри яких потраплять всередину ламаного циліндра, що має сумарну довжину і діаметр 2 D. Його обсяг приймемо рівним обсягом відповідного випрямлення циліндра, т. Е. Рівним . Тому якщо в одиниці об'єму газу знаходиться N молекул, то число зіткнень розглянутої молекули за 1с дорівнюватиме

Насправді рухаються всі молекули. Тому число зіткнень за 1с буде дещо більшим отриманої величини, так як внаслідок руху оточуючих молекул розглянута молекула зазнала б деяке число зіткнень навіть в тому випадку, якщо б вона сама не рухалася. Абсолютні швидкості U 1 і U 2 двох будь-яких молекул, взяті по відношенню до стінок посудини, при зіткненнях ролі не грають. Безпосереднє значення має лише швидкість їх відносного руху U Отн = U 1 - U 2. Причому при розгляді відносного руху двох молекул одну з них можна вважати як нерухому, а іншу налетающей на першу зі швидкістю . Тому весь розрахунок числа зіткнень можна здійснити, якщо одну з молекул вважати рухається з деякою середньою відносною швидкістю серед нерухомих молекул, як це і було зроблено вище. Таким чином, при обліку руху всіх інших молекул у формулі (2) необхідно замінити на :

Щоб знайти , Припустимо, що до зіткнення швидкості були U 1 і U 2, а U Отн = U 1 - U 2. З трикутника швидкостей (рис.36) маємо

,

Так як середнє значення квадратів абсолютних швидкостей однаково , а , З огляду на те, що (оскільки всі напрямки руху рівноправні).

Так як середні квадратичні швидкості молекул пропорційні середнім значенням, то рівність (4) можна переписати у вигляді

Підставивши з формули (5) в вираз (3), отримаємо число зіткнень, випробуваних однією молекулою за 1с:

З огляду на формулу (1), знайдемо середню довжину вільного пробігу молекули

Де ми врахували, що P = NkT.

§2 Види явищ переносу. Загальне рівняння явищ переносу в газах

Рівноважний стан газу в молекулярно-кінетичної теорії розглядається як стан повної хаотичності руху молекул, розподіл яких за швидкостями підкоряється закону Максвелла.

Будь-яке нерівноважний стан газу завжди пов'язане з порушенням повної хаотичності руху і максвеллівський розподілу молекул за швидкостями. Основною особливістю нерівноважних станів є прагнення газу мимовільно переходити до рівноважного стану. Цей перехід пов'язаний з хаотичним тепловим рухом, що супроводжується безперервними сутичками молекул один з одним, яке і призводить до постійного перемішування молекул, зміни їх швидкостей і енергій. Встановлення в газі максвеллівський розподілу молекул за швидкостями при переході його в рівноважний стан завжди пов'язане з направленим перенесенням маси, імпульсу і енергії в речовині, які називають явищами перенесення.

До явищ перенесення відносять теплопровідність, внутрішнє тертя (або в'язкість) і дифузію газів. Теплопровідність обумовлена ​​переносом молекулами кінетичної енергії з місць більш нагрітих до місць менш нагрітих, в'язкість - імпульсу, дифузія - маси молекул. Сувора молекулярно-кінетична теорія явищ переносу в газах виявляється досить складною, вона пов'язана з громіздкими математичними розрахунками. Ми скористаємося спрощеним методом кінетичної теорії газів, який дозволяє виявити основні закономірності явищ переносу. У цьому методі справжнє хаотичний рух молекул газу приблизно замінюється трьома впорядкованими рухами по трьох взаємно перпендикулярних осях, так що уздовж кожної осі в середньому рухається всіх молекул газу, з них половина (т. е. частина) - в
позитивному напрямку даної осі, а друга половина - в негативному напрямку. Виправданням такого спрощеного тлумачення поведінки молекул в газі може служити те, що суворі висновки призводять до тих же або дуже близьким до них кінцевих результатів. Застосування цього методу дозволяє досить просто визначити одну з найбільш важливих для явищ переносу величин, а саме, число молекул, які переносяться за деякий час Dt через довільну майданчик Ds, виділену в газі. Дійсно, за час Dt через довільну майданчик Ds пройдуть всі рухомі у напрямку до них молекули, укладені в обсязі паралелепіпеда, підставою якого служить Ds, а висота Dt. Число цих молекул

Де N - число молекул в одиниці об'єму.

Позначимо переноситься фізичну величину одного молекулою через J. Значення цієї величини змінюється при зіткненнях молекул і зберігається незмінним між зіткненнями, т. Е. На довжині вільного пробігу . Припустимо, що переноситься величина J (X) змінюється тільки в напрямку осі X. Молекули, що перетинають виділену площадку, переносять через неї то значення величини J (X), яке вони мали після останнього зіткнення перед майданчиком, т. Е. На відстані довжини вільного пробігу від неї. Відповідно до цього можна вважати, що кожна молекула, яка перетинає майданчик Ds зліва направо, переносить через неї значення величини J Рівне , А молекула, що приходить до майданчика праворуч, - значення цієї величини дорівнює (Мал.37). Загальна кількість даної фізичної величини, переноситься молекулами через майданчик Ds за час Dt зліва направо (рис. 37),

А кількість тієї ж величини, переноситься через ту ж майданчик справа наліво і за той же час, буде

Отже, результуючий кількість розглянутої величини, яку переносять за час Dt через майданчик Ds уздовж осі X, так само

Розкладемо функції j, що стоять в квадратної дужки вираження (229) в ряд за ступенями малої величини в точці X, де розташована майданчик Ds

Підставами (3) і (4 в (2. В результаті матимемо

Останнє рівняння є загальним рівнянням переносу фізичної величини j в газі, і має такий же вигляд, як у загальній теорії.

§ 3. Теплопровідність

З макроскопічної точки зору явище теплопровідності полягає в перенесенні кількості тепла від шару більш нагрітого до менш нагрітого, що триває до тих пір, поки температура в усьому тілі не вирівняється. У молекулярно-кінетичної ж теорії процес теплопровідності пояснюється тим, що молекули з більш нагрітого шару, де вони мають велику середню кінетичну енергію, проникаючи в менш нагріту область, передають при зіткненнях молекул цієї області частина їх кінетичної енергії.

Нехай зміна температури речовини відбувається уздовж осі X, в той час як в площині перпендикулярній цієї осі, температура постійна. Дослідним шляхом Фур'є встановив закон, згідно з яким кількість тепла, переноситься за час Dt Через площадку Ds, перпендикулярну осі X, уздовж якої змінюється температура, пропорційно величині майданчики, часу перенесення і градієнту DT / Dx Температури, т. Е.

Знак мінус в (1) означає, що тепло переноситься в сторону зменшення температури. Як видно з виразу (1) коефіцієнт теплопровідності æ чисельно дорівнює кількості тепла, що переноситься в одиницю часу через одиничну площадку при градієнті температури, що дорівнює одиниці. В системі СІ коефіцієнт теплопровідності має розмірність Вт / (м. К). Закон Фур'є справедливий для речовин, що знаходяться в будь-яких агрегатних станах.

Розглянемо задачу про обчислення коефіцієнта æ для газів в області температур, де справедлива класична теорія. Яку переносять величиною J при теплопровідності є, очевидно, середня кінетична енергія молекули, т. Е.; сумарної яку переносять величиною є кількість теплоти, т. е. D Ф = D Q. Тому загальне рівняння переносу (з § 2 (5)) в цьому випадку набуде вигляду

Як ми знаємо, середня кінетична енергія молекули

Де M 0 - маса молекули, - питома теплоємність газу. Підставляючи (3) в (2), отримаємо

Де R = nm0 - щільність газу. Порівняння формули (4) з законом Фур'є (1) дає для коефіцієнта теплопровідності æ такий вираз

Користуючись формулою (5), з'ясуємо залежність æ від тиску і температури. З усіх величин, що входять в (5) тільки щільність і середня довжина вільного пробігу залежать від тиску: перша з них пропорційна тиску, друга - обернено пропорційна тиску газу. Тому величина æ не залежить від тиску, що підтверджується експериментом.

З'ясуємо залежність коефіцієнта теплопровідності від температури при постійній концентрації (або щільності) газу. За класичною теорією теплоємність не залежить від температури, середня ж швидкість пропорційна, тому з (5) випливає, що при постійній щільності газу коефіцієнт теплопровідності газів зростає з підвищенням температури пропорційно.

§4. в'язкість

Явище внутрішнього тертя (або в'язкості) в газах (так само як і в рідинах) полягає у вирівнюванні швидкостей руху різних верств газу (або рідини), якщо ці швидкості різні і газ (або рідина) полишений сам на себе. Це вирівнювання відбувається тому, що з шару газу з більшою (меншою) швидкістю переноситься імпульс до шару, який рухається з меншою (більшою) швидкістю.

Нехай зміна швидкості руху газу (або рідини) відбувається в напрямку осі X, а сама швидкість течії газу спрямована перпендикулярно цій осі. Тоді, як показує досвід, імпульс переноситься за час Dt через майданчик Ds, перпендикулярну цій осі, визначається рівнянням

Де Du / Dx - Градієнт швидкості уздовж осі X, що характеризує швидкість зміни швидкості уздовж цієї осі. Знак мінус означає, що імпульс переноситься в напрямку зменшення швидкості. Коефіцієнт H Називається коефіцієнтом внутрішнього тертя або коефіцієнтом в'язкості. Фізичний сенс коефіцієнта в'язкості полягає в тому, що він чисельно дорівнює імпульсу, який переноситься в одиницю часу через одиничну площадку при градієнті швидкості дорівнює одиниці. В системі СІ коефіцієнт в'язкості вимірюється в кг / (м. С) = Па. с. При перенесенні імпульсу від шару до шару відбувається зміна імпульсу цих шарів: імпульс одного шару збільшується, а іншого - зменшується. Це означає, що на кожен з шарів діє сила, рівна зміні імпульсу в одиницю часу. Тому рівняння (1) можна представити також у вигляді

Де DF - сила, що діє на площадку Ds поверхні,

Розділяє два сусідніх шару газу або рідини. Ця сила в одному з суміжних шарів спрямована за течією газу, а в іншому - назустріч, т. Е. Вона спрямована по дотичній до елементу Ds поверхні, причому на шар газу, що прилягає з боку менших швидкостей, вона діє прискорює чином, а на шар газу, що прилягає з боку великих швидкостей, - гальмуючим чином. Таким чином, розглянута сила діє всередині газу між окремими його шарами, що рухаються один щодо одного. Тому її називають силою внутрішнього тертя. Коефіцієнт в'язкості H можна, відповідно до рівняння (2), визначити і як величину, чисельно рівну силі внутрішнього тертя, що діє на одиницю площі поверхні, паралельної швидкості течії газу або рідини, при градієнті швидкості, що дорівнює одиниці. Залежність сили внутрішнього тертя від градієнта швидкості і величини площі, що виражається рівнянням (2), була встановлена ​​емпірично Ньютоном, тому рівняння (2) відомо під назвою закону Ньютона для в'язкого тертя.

З точки зору молекулярно-кінетичної теорії явище внутрішнього тертя в газах полягає в наступному. У поточному газі на швидкість безладного теплового руху молекул U накладається переносна швидкість U, т. Е. Швидкість макроскопічного руху газу, яка однакова для всіх молекул даного шару (поточного з певною швидкістю) і різна для молекул різних верств. З цією швидкістю пов'язаний імпульс M O U, яким володіє кожна молекула даного шару. Такий імпульс домовимося називати впорядкованим. Молекули, перелітаючи завдяки хаотичного теплового руху з більш швидкого шару в більш повільний, приносять з собою великий упорядкований імпульс, який при зіткненнях передається молекулам більш повільного шару, внаслідок чого він прискорюється. Назад, молекули, що потрапляють з більш повільного шару в більш швидкий шар, приносять менший упорядкований імпульс, викликаючи тим самим уповільнення цього шару. Таким чином, згідно з кінетичної теорії, сутність внутрішнього тертя в газах полягає в перенесенні молекулами упорядкованого імпульсу, т. Е. Величини Mou. Замінюючи в загальному рівнянні (з §2 (5)) перенесення J на M 0 U і D Ф на DK, отримуємо наступне рівняння внутрішнього тертя в газах, т. Е. Рівняння переносу імпульсу:

Порівняння цього рівняння з рівнянням (1) дає такий вираз для коефіцієнта в'язкості газів:

З виразу (4) випливає, що коефіцієнт в'язкості газів, так само як і коефіцієнт теплопровідності, не повинен залежати від тиску, так як твір від тиску не залежить. Досліди з вимірювання в'язкості газів в досить широкому діапазоні тисків підтверджує цей висновок. Лише при дуже високих і дуже низьких тисках починає проявлятися залежність h від тиску.

Коефіцієнт в'язкості, також як і коефіцієнт теплопровідності, повинен залежати від температури, так як в вираженні для H входить середня швидкість теплового руху молекул, що залежить від температури за законом . Значить, коефіцієнт в'язкості газу також повинен зростати з підвищенням температури пропорційно . Насправді в'язкість зростає трохи швидше, ніж за законом . Це пов'язано з тим, що з підвищенням температури не тільки зростає теплова швидкість молекул, але і зменшується їх ефективний діаметр і тому зростає довжина вільного пробігу молекул .

§5. Дифузія в газах

Дифузією називається обумовлений хаотичним рухом молекул процес поступового перемішування двох або кількох дотичних речовин. При цьому речовина переходить з місць з більшою в місця з меншою концентрацією до тих пір, поки склад суміші не стане однаковим по всьому об'єму. Тиск і температура газової суміші при дифузії залишаються постійними у всіх частинах обсягу. Тому повне число молекул в одиниці об'єму не змінюється в процесі дифузії, т. Е. N = P / KT = Const. Будемо вважати, що є дві компоненти a і b, диффундирующие один в одного. Для визначеності будемо вважати, що концентрація N A компоненти a в позитивному напрямку осі X зменшується, а концентрація другий компоненти N B в цьому ж напрямку зростає, причому, так що N = N A + N B = сonst і, отже, тиск суміші однаково у всьому обсязі. Виділимо деяку площадку Ds, перпендикулярну осі X. Зрозуміло, що через теплового руху молекули обох компонент переходитимуть через цю площадку в ту і іншу сторону. Але результуючий потік молекул кожної компоненти буде направлений звідти, де її концентрація більше, туди, де вона менше. Таким чином, в даному випадку молекули газу A будуть дифундувати зліва направо, а молекули газу B - в протилежному напрямку.

Кількість дифундуючої компоненти a будемо характеризувати результуючим числом молекул DN A цієї компоненти, які переносяться через виділену площадку Ds за час Dt. Досвід показує, що це число пропорційно Ds, часу Dt і градієнту концентрації Dn A / Dx розглянутої компоненти в напрямку, перпендикулярному до майданчика, т. Е.

Коефіцієнт пропорційності називається коефіцієнтом дифузії. Він чисельно дорівнює кількості молекул дифундує компоненти A, яку переносять в одиницю часу через одиничну площадку при градієнті концентрації, що дорівнює одиниці. В системі СІ він має розмірність м2 / с.

Помноживши рівність (1) на масу молекули компоненти a, отримаємо

де DM A - маса дифундуючої компоненти; R A - її щільність. Закон (1), встановлений на досвіді, називають законом Фіка.

З точки зору молекулярно кінетичної теорії за переноситься величину J потрібно взяти концентрацію компоненти a, розраховану на одну молекулу, т. Е.

,

А D Ф = DN A. Тому загальне рівняння переносу (з §2 (5)) для дифузії набуде вигляду

Порівнюючи вирази (4) і (1), отримаємо

З формули (5) видно, що при постійному обсязі D ~ , А при постійній температурі D ~ 1 / P.