1. Нормальний розподіл Цей вид розподілу найбільш часто зустрічається в порівнянні з іншими видами розподілів....

Нормальний розподіл

Цей вид розподілу найбільш часто зустрічається в порівнянні з іншими видами розподілів. Головною особливістю цього розподілу є те, що до цього закону прагнуть всі інші закони розподілів при нескінченному повторенні кількості випробувань. Як виходить це розподіл?

Уявімо собі, що, взявши ручної динамометр, Ви розташувалися в самому людному місці Вашого міста. І кожному, хто проходить повз, Ви пропонуєте виміряти свою силу, стиснувши динамометр правою чи лівою рукою. Показання динамометра Ви акуратно за-підписується. Через деякий час, при досить великій кількості випробувань, Ви нанесли на вісь абсцис показання динамометра, а на вісь ординат - кількість людей, кото-які "вичавили" це розповідь. Отримані точки з'єднали плавною лінією. В результаті виходить крива, зображена на рис.9.8 . Вид цієї кривої не буде особливо змінюватися при збільшенні часу досвіду. Більш того, у якійсь точці нові значення будуть тільки уточнювати криву, не змінюючи її форми.

Мал.9.8.

Результат експерименту з динамометром

Тепер перемістимося з нашим динамометром в атлетичний зал і повторимо експеримент. Тепер максимум кривої зміститься вправо, лівий кінець буде кілька затягнуть, в той час як правий кінець її буде більш крутий ( рис.9.9 ).

Мал.9.9.

Результат експерименту з динамометром в атлетичному залі

Зауважимо, що максимальна частота для другого розподілу (точка В) буде нижче, ніж максимальна частота першого розподілу (точка А). Це можна пояснити тим, що загальна кількість людей, які відвідують атлетичний зал, буде менше, ніж кількість людей, яке пройшли біля експериментатора в першому випадку (в центрі міста в досить людному місці). Максимум змістився вправо, так як атлетичні зали відвідують фізично сильніші люди в порівнянні із загальним фоном.

І, нарешті, відвідаємо школи, дитячі сади і будинки пристарілих з тією ж метою: виявити силу рук відвідувачів цих місць. І знову крива розподілу матиме схожу форму, але тепер, очевидно, більш крутим буде її лівий кінець, а правий більш затягнуть. І як у другому випадку, максимум (точка С) буде нижче точки А ( рис.9.10 ).

Мал.9.10.

Результат експерименту з динамометром в школах і дитячих садах

Це чудова властивість нормального розподілу - зберігати форму кривої щільності розподілу ймовірностей (рис. 8 - 10) було помічено і описано в 1733 році Муавром, а потім досліджено Гауссом.

У наукових дослідженнях, в техніці, в масових явищах чи експериментах, коли мова йде про багаторазово повторюваних випадкових величинах при незмінних умовах досвіду, кажуть, що результати випробувань відчувають випадкове розсіювання, що підкоряється закону нормальної кривої розподілу

де - це найбільш часто зустрічається подія. Як правило, в формулу (21) замість параметра ставлять . Причому, чим довжин-неї експериментальний ряд, тим менше параметр буде відрізнятися від математичного очікування. Площа під кривою ( рис.9.11 ) При-приймаються дорівнює одиниці. Площа, що відповідає будь-якому інтервалу осі абсцис, чисельно дорівнює ймовірності попадання випадкового результату в даний інтервал.
Мал. 9.11. Нормальна крива розподілу

Функція нормального розподілу має вигляд

Зауважимо, що нормальна крива ( рис.9.11 ) Симетрична відносно прямої і асимптотично наближається до осі ОХ при .

Обчислимо математичне сподівання для нормального закону

Властивості нормального розподілу

Розглянемо основні властивості цього найважливішого розподілу.

Властивість 1. Функція щільності нормального розподілу (21) визначення на всій осі абсцис.

Властивість 2. Функція щільності нормального розподілу (21) більше нуля для будь-якого з області визначення ( ).

Властивість 3. При нескінченному збільшенні (зменшенні) функція розподілу (21) прагне до нуля .

Властивість 4. при функція розподілу , Задана (21), має найбільше значення, рівне

Властивість 5. Графік функції ( рис.9.11 ) Симетричний відносно прямої .

Властивість 6. Графік функції ( рис.9.11 ) Має по дві точки перегину симетричні відносно прямої :

Властивість 7. Всі непарні центральні моменти дорівнюють нулю. Зауважимо, що використовуючи властивість 7, визначають асиметрію функції за формулою . якщо , То роблять висновок, що досліджуване розподіл симетрично відносно прямої . якщо , То говорять, що ряд зміщений вправо (більш полога права гілка графіка або затягнута). якщо , Тоді вважають, що ряд зміщений вліво (більш полога ліва гілка графіка ріс.9.12 ).

Функція щільності розподілу для різних А

Властивість 8. Ексцес розподілу дорівнює 3. Часто на практиці обчислюють і по близькості цієї величини до нуля визначають ступінь "стиснення" або "розмитості" графіка ( ріс.9.13 ). А так як пов'язаний з , То, в кінцевому підсумку характеризує ступінь розсіювання частоти даних. А так як визначає точність вимірювань (ступінь неуважності даних), то стає очевидним, чому в разі підвищеної точності вимірювань, результати будуть групуватися біля центру, а в результаті крива буде крутіше підніматися в центрі і різкіше спадати в міру віддалення від середнього ( ріс.9.13 , ). А тоді зі збільшенням , Тобто погіршенням якості вимірювань, розсіювання результатів збільшується, а крива приймає більш пологий (згладжений) вид ( ріс.9.13 , ).

Крива нормального розподілу носить також назву кривої Гаусса (1777 - 1855) - по імені знаменитого німецького математика, глибоко досліджував теорію випадкових помилок і методу найменших квадратів. В даний час теорія випадкових помилок вимірів є відділом іншої, більш великої науки - математичної статистики, що розробляє раціональні методи і прийоми обробки великої кількості експериментальних даних. Ці прийоми пов'язані з сучасними теоріями стійкості, біфуркацій і катастроф.

Закономірності випадкового розсіювання супроводжують появу найбільш характерних, масових для даної місцевості, зразків порід, які хоча і різні за своїм виглядом, текстурі, розміром, відчувають вплив великої кількості різноманітних випадкових факторів, але при цьому підкоряються нормальному закону розподілу.

Властивість 9. форма кривої не змінюється при зміні параметра .

Графік нормальної функції розподілу (22) показаний на ріс.9.14 .

Графік нормальної функції розподілу