Прискорення

Найбільш загальний випадок
Аналіз руху по кривої
Важливі окремі випадки
прямолінійний рух
Рух по колу
Прискорення при складному русі
Прискорення в кінематиці твердого тіла
Створення прискорення. динаміка точки
Класична механіка
Релятивістська механіка
Прискорення в теорії відносності
вимірювання прискорень
Технічні засоби
Значення прискорення в деяких випадках
Поняття "узагальнене прискорення"
Див. також

Прискорення (зазвичай позначається латинськими буквами a (від лат. acceleratio ) Або w) - фізична величина, яка визначає швидкість зміни швидкості тіла, тобто перша похідна від швидкості по часу . прискорення є векторної величиною, яка б показала, на скільки змінюється вектор швидкості v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} Прискорення (зазвичай позначається латинськими буквами a (від лат тіла при його русі за одиницю часу:

a → = d v → d t. {\ Displaystyle {\ vec {a}} = {d {\ vec {v}} \ over dt}.}

Наприклад, тіла, вільно падаючі поблизу поверхні землі вздовж вертикалі, в випадках, коли випробовується ними опір повітря мало, збільшують свою швидкість приблизно на 9,8 м / с за кожну секунду, тобто їх прискорення приблизно дорівнює 9,8 м / с? . При Непрямолінійність русі враховується зміна не тільки величини швидкості, але і її напрямки: скажімо, прискорення тіла, що рухається по колу з постійною за модулем швидкістю, не дорівнює нулю: є постійне по модулю (і змінне у напрямку) прискорення, спрямоване до центру кола.

Одиницею прискорення в Міжнародній системі одиниць (СІ) служить метр в секунду за секунду (російське позначення: м / с2; міжнародне: m / s2).

Найбільш загальний випадок

Прискорення і пов'язані величини

вектор прискорення матеріальної точки в будь-який момент часу знаходиться шляхом одноразового диференціювання за часом вектора швидкості матеріальної точки (або дворазового диференціювання радіус-вектора ):

a → = d v → d t = d 2 r → d t 2. {\ Displaystyle {\ vec {a}} = {d {\ vec {v}} \ over dt} = {d ^ {2} {\ vec {r}} \ over dt ^ {2}}.}

Якщо на траєкторії точки відомі координати r → (t 0) = r → 0 {\ displaystyle {\ vec {r}} (t_ {0}) = {\ vec {r}} _ {0}} $Якщо на траєкторії точки відомі координати r → (t 0) = r → 0 {\ displaystyle {\ vec {r}} (t_ {0}) = {\ vec {r}} _ {0}} і вектор швидкості v → (t 0) = v → 0 {\ displaystyle {\ vec {v}} (t_ {0}) = {\ vec {v}} _ {0}} в будь-який момент часу t 0, а також залежність прискорення від часу a → (t), {\ displaystyle {\ vec {a}} (t),} то, інтегруючи це рівняння, можна отримати координати і швидкість точки в будь-який момент часу t (як до, так і після моменту t 0):$ і вектор швидкості v → (t 0) = v → 0 {\ displaystyle {\ vec {v}} (t_ {0}) = {\ vec {v}} _ {0}} в будь-який момент часу t 0, а також залежність прискорення від часу a → (t), {\ displaystyle {\ vec {a}} (t),} то, інтегруючи це рівняння, можна отримати координати і швидкість точки в будь-який момент часу t (як до, так і після моменту t 0):

v → (t) = v → 0 + ∫ t 0 ta → (τ) d τ, {\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ vec {v}} _ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ vec {a}} (\ tau) d \ tau,} $v → (t) = v → 0 + ∫ t 0 ta → (τ) d τ, {\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ vec {v}} _ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ vec {a}} (\ tau) d \ tau,} r → (t) = r → 0 + (t - t 0) v → 0 + ∫ t 0 t ∫ t 0 ξ a → (τ) d τ d ξ$ r → (t) = r → 0 + (t - t 0) v → 0 + ∫ t 0 t ∫ t 0 ξ a → (τ) d τ d ξ. {\ Displaystyle {\ vec {r}} (t) = {\ vec {r}} _ {0} + (t-t_ {0}) {\ vec {v}} _ {0} + \ int _ { t_ {0}} ^ {t} \ int _ {t_ {0}} ^ {\ xi} {\ vec {a}} (\ tau) d \ tau d \ xi.}

похідна прискорення за часом, тобто величина, що характеризує швидкість зміни прискорення, називається ривок :

j → = d a → d t, {\ displaystyle {\ vec {j}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {a}}} {\ mathrm {d} t}},} $j → = d a → d t, {\ displaystyle {\ vec {j}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {a}}} {\ mathrm {d} t}},} де j → {\ displaystyle {\ vec {j}}} - вектор ривка$ де j → {\ displaystyle {\ vec {j}}} - вектор ривка.

Аналіз руху по кривої

Траєкторію руху матеріальної точки на малій ділянці можна вважати плоскою. Вектор прискорення a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} можна розкласти по супутньому базису {Τ →, n →, b →}: {\ displaystyle \ left \ {{\ vec {\ tau}}, {\ vec {n}}, {\ vec {b}} \ right \}}

a → = a τ τ → + ann → + abb → = dvdt τ → + v 2 R n → + abb →, {\ displaystyle {\ vec {a}} = {a} _ {\ tau} {\ vec { \ tau}} + {a} _ {n} {\ vec {n}} + {a} _ {b} {\ vec {b}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {\ tau}} + {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ vec {n}} + {a} _ {b} {\ vec {b}},} $a → = a τ τ → + ann → + abb → = dvdt τ → + v 2 R n → + abb →, {\ displaystyle {\ vec {a}} = {a} _ {\ tau} {\ vec { \ tau}} + {a} _ {n} {\ vec {n}} + {a} _ {b} {\ vec {b}} = {\ frac {dv} {dt}} {\ vec {\ tau}} + {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ vec {n}} + {a} _ {b} {\ vec {b}},}$

де

v {\ displaystyle v \} $v {\ displaystyle v \} - величина швидкості, τ → = v → / | v → | {\ Displaystyle {\ vec {\ tau}} = {\ vec {v}} / | {\ vec {v}} |} - одиничний дотичний до траєкторії вектор, спрямований уздовж швидкості (дотичний орт ), N → {\ displaystyle {\ vec {n}}} - орт головною нормалі до траєкторії, який можна визначити як одиничний вектор в напрямку d τ → / d l, {\ displaystyle d {\ vec {\ tau}} / dl,} b → {\ displaystyle {\ vec {b}}} - орт бинормали до траєкторії, перпендикулярний одночасно ортам τ → {\ displaystyle {\ vec {\ tau}}} і n → {\ displaystyle {\ vec {n}}} (Тобто ортогональний до миттєвої площині траєкторії), R {\ displaystyle R} - радіус кривизни траєкторії$ - величина швидкості, τ → = v → / | v → | {\ Displaystyle {\ vec {\ tau}} = {\ vec {v}} / | {\ vec {v}} |} - одиничний дотичний до траєкторії вектор, спрямований уздовж швидкості (дотичний орт ), N → {\ displaystyle {\ vec {n}}} - орт головною нормалі до траєкторії, який можна визначити як одиничний вектор в напрямку d τ → / d l, {\ displaystyle d {\ vec {\ tau}} / dl,} b → {\ displaystyle {\ vec {b}}} - орт бинормали до траєкторії, перпендикулярний одночасно ортам τ → {\ displaystyle {\ vec {\ tau}}} і n → {\ displaystyle {\ vec {n}}} (Тобто ортогональний до миттєвої площині траєкторії), R {\ displaystyle R} - радіус кривизни траєкторії.

Доданок a b b →, {\ displaystyle {a} _ {b} {\ vec {b}},} $Доданок a b b →, {\ displaystyle {a} _ {b} {\ vec {b}},} зване бинормальной прискоренням, завжди дорівнює нулю$ зване бинормальной прискоренням, завжди дорівнює нулю. Це можна вважати прямим наслідком визначення векторів n →, b →: {\ displaystyle {\ vec {n}}, {\ vec {b}}} можна сказати, що вони вибираються саме так, щоб перший завжди збігався з нормальним прискоренням, другий же був ортогонален першому.

Вектори a τ τ → {\ displaystyle {a} _ {\ tau} {\ vec {\ tau}}} $Вектори a τ τ → {\ displaystyle {a} _ {\ tau} {\ vec {\ tau}}} і a n n → {\ displaystyle {a} _ {n} {\ vec {n}}} називаються дотичним ( тангенціальним ) і нормальним прискореннями відповідно$ і a n n → {\ displaystyle {a} _ {n} {\ vec {n}}} називаються дотичним ( тангенціальним ) і нормальним прискореннями відповідно.

Отже, з огляду на сказане вище, вектор прискорення при русі по будь-якій траєкторії можна записати як:

a → = a τ τ → + a n n → = d v d t τ → + v 2 R n →. {\ Displaystyle {\ vec {a}} = {a} _ {\ tau} {\ vec {\ tau}} + {a} _ {n} {\ vec {n}} = {\ frac {dv} { dt}} {\ vec {\ tau}} + {\ frac {v ^ {2}} {R}} {\ vec {n}}.}

Важливі окремі випадки

рівноприскореного руху

Якщо вектор a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} $Якщо вектор a → {\ displaystyle {\ vec {a}}} не змінюється з часом, рух називають рівноприскореному$ не змінюється з часом, рух називають рівноприскореному . При рівноприскореному русі вищенаведені загальні формули спрощуються до такого вигляду:

v → (t) = v → 0 + (t - t 0) a →, {\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ vec {v}} _ {0} + (t-t_ { 0}) {\ vec {a}},} $v → (t) = v → 0 + (t - t 0) a →, {\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ vec {v}} _ {0} + (t-t_ { 0}) {\ vec {a}},} r → (t) = r → 0 + (t - t 0) v → 0 + (t - t 0) 2 + 2 a →$ r → (t) = r → 0 + (t - t 0) v → 0 + (t - t 0) 2 + 2 a →. {\ Displaystyle {\ vec {r}} (t) = {\ vec {r}} _ {0} + (t-t_ {0}) {\ vec {v}} _ {0} + {(t- t_ {0}) ^ {2} \ over 2} {\ vec {a}}.}

Окремим випадком равноускоренного руху є випадок, коли прискорення дорівнює нулю протягом усього часу руху. У цьому випадку швидкість постійна, а рух відбувається по прямолінійній траєкторії (якщо швидкість теж дорівнює нулю, то тіло покоїться), тому такий рух називають прямолінійним і рівномірним.

Рівноприскореному русі точки завжди є плоским, а твердого тіла - плоскопаралельним ( поступальним ). Зворотне, взагалі кажучи, невірно.

Рівноприскореного руху при переході в іншу інерційну систему відліку залишається рівноприскореному.

Випадок равноускоренного руху, коли прискорення (постійне) і швидкість спрямовані по одній прямій, але в різних напрямках, називається равнозамедленно рухом. Равнозамедленно рух завжди одновимірно. Рух можна розглядати як равнозамедленно лише до того моменту, поки швидкість не стане рівною нулю. Крім того, завжди існують інерціальні системи відліку, в яких рух не є равнозамедленно.

прямолінійний рух

Важливим окремим випадком руху з прискоренням є прямолінійний рух, коли прискорення в будь-який момент часу колінеарну швидкості (наприклад, випадок падіння тіла з вертикальною початковою швидкістю). У разі прямолінійного руху можна вибрати одну з координатних осей вздовж напрямку руху і замінити радіус-вектор і вектори прискорення і швидкості на скаляри. При постійному прискоренні з наведених вище формул випливає, що

v 2 = u 2 + 2 a s. {\ Displaystyle v ^ {2} = u ^ {2} +2 \, as.}

Тут u і v - початкова і кінцева швидкість тіла, a - його прискорення, s - пройдений тілом шлях.

Ряд практично важливих формул пов'язують витрачений час, пройдений шлях, досягнуту швидкість і прискорення при рівноприскореному прямолінійному русі з нульовою початковою швидкістю:

t = 2 sa = va = 2 sv, s = vt 2 = at 2 2 = v 2 2 a, {\ displaystyle t = {\ sqrt {\ frac {2s} {a}}} = {\ frac {v} {a}} = {\ frac {2s} {v}}, \ qquad \ qquad s = {\ frac {vt} {2}} = {\ frac {at ^ {2}} {2}} = {\ frac {v ^ {2}} {2a}},} $t = 2 sa = va = 2 sv, s = vt 2 = at 2 2 = v 2 2 a, {\ displaystyle t = {\ sqrt {\ frac {2s} {a}}} = {\ frac {v} {a}} = {\ frac {2s} {v}}, \ qquad \ qquad s = {\ frac {vt} {2}} = {\ frac {at ^ {2}} {2}} = {\ frac {v ^ {2}} {2a}},} v = 2 as = at = 2 st, a = vt = 2 st 2 = v 2 2 s, {\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \, as}} = at = {\ frac {2s} {t} }, \ qquad \ qquad a = {\ frac {v} {t}} = {\ frac {2s} {t ^ {2}}} = {\ frac {v ^ {2}} {2s}},}$ v = 2 as = at = 2 st, a = vt = 2 st 2 = v 2 2 s, {\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \, as}} = at = {\ frac {2s} {t} }, \ qquad \ qquad a = {\ frac {v} {t}} = {\ frac {2s} {t ^ {2}}} = {\ frac {v ^ {2}} {2s}},}

так що будь-які дві з цих величин визначають дві інші (тут мається на увазі, що час відраховується від початку руху, t 0 = 0).

Рух по колу

вектор прискорення

a → = d v → d t {\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}}} $a → = d v → d t {\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}}}$

при русі точки по колу можна розкласти на дві складові (компоненти):

a → = a → τ + a → n. {\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {\ tau} + {\ vec {a}} _ {n}.}

Тангенціальне або дотичне прискорення a → τ {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ tau}} $Тангенціальне або дотичне прискорення a → τ {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ tau}} (Позначається іноді w → τ, u → τ {\ displaystyle {\ vec {w}} _ {\ tau}, {\ vec {u}} _ {\ tau}} і т$ (Позначається іноді w → τ, u → τ {\ displaystyle {\ vec {w}} _ {\ tau}, {\ vec {u}} _ {\ tau}} і т. д., в залежності від того, якою буквою в конкретному тексті прийнято позначати прискорення) направлено по дотичній до траєкторії. Є складовою вектора прискорення a →, {\ displaystyle {\ vec {a}},} колінеарний вектору миттєвої швидкості. Характеризує зміну швидкості по модулю.

a → τ = v → | v → | ⋅ d | v → | d t. {\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {\ tau} = {\ frac {\ vec {v}} {| {\ vec {v}} |}} \ cdot {\ frac {d | {\ vec { v}} |} {dt}}.} a → τ = v → | v → | ⋅ d | v → | d t

доцентрове або нормальне прискорення a → n {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {n}} $доцентрове або нормальне прискорення a → n {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {n}} (Також позначається іноді w → n, u → n {\ displaystyle {\ vec {w}} _ {n}, {\ vec {u}} _ {n}} і т$ (Також позначається іноді w → n, u → n {\ displaystyle {\ vec {w}} _ {n}, {\ vec {u}} _ {n}} і т. д.) виникає (не дорівнює нулю) завжди при русі точки не тільки по колу, але і по будь-якій траєкторії з ненульовий кривизною. Є складовою вектора прискорення a →, {\ displaystyle {\ vec {a}},} перпендикулярній вектору миттєвої швидкості. Характеризує зміну швидкості за напрямком. Вектор нормального прискорення завжди спрямований до миттєвої осі обертання,

a → n = | v → | ⋅ d d t v → | v → | , {\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {n} = {| {\ vec {v}} |} \ cdot {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ vec {v}} { | {\ vec {v}} |}},} $a → n = | v → | ⋅ d d t v → | v → | , {\ Displaystyle {\ vec {a}} _ {n} = {| {\ vec {v}} |} \ cdot {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ vec {v}} { | {\ vec {v}} |}},}$

а модуль дорівнює

| a → n | = Ω 2 r = v 2 r, {\ displaystyle | {\ vec {a}} _ {n} | = \ omega ^ {2} r = {v ^ {2} \ over r},} $| a → n | = Ω 2 r = v 2 r, {\ displaystyle | {\ vec {a}} _ {n} | = \ omega ^ {2} r = {v ^ {2} \ over r},}$

де ω - кутова швидкість щодо центру обертання, а r - радіус кола.

Крім цих двох компонент, використовується також поняття кутове прискорення , Що показує, на скільки змінилася кутова швидкість за одиницю часу, і, аналогічно лінійному прискоренню, яке обчислюється в такий спосіб:

ε → = d ω → d t. {\ Displaystyle {\ vec {\ varepsilon}} = {d {\ vec {\ omega}} \ over dt}.}

Напрямок вектора тут показує, збільшується або зменшується модуль швидкості. Якщо вектори кутового прискорення і кутової швидкості сонаправлени (або хоча б їх скалярний добуток позитивно), значення швидкості росте, і навпаки.

В окремому випадку рівномірного руху по колу вектори кутового прискорення і тангенціального прискорення дорівнюють нулю, а доцентровийприскорення постійно по модулю.

Прискорення при складному русі

Кажуть, що матеріальна точка (тіло) здійснює складний рух, якщо вона рухається щодо будь-якої системи відліку, а та, в свою чергу, рухається відносно іншої, «лабораторної», системи відліку. Тоді абсолютне прискорення тіла в лабораторній системі дорівнює сумі відносного, переносного та коріолісова прискорень:

a → = a → r '+ a → e + 2 [ω → × v → r']. {\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {a}} _ {r '} + {\ vec {a}} _ {e} +2 \ left [{\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {v}} _ {r '} \ right].}

Останній член містить векторний добуток кутової швидкості обертання рухомої системи відліку і швидкості матеріальної точки в цій рухомій системі.

Прискорення в кінематиці твердого тіла

Зв'язок прискорень двох точок абсолютно твердого тіла A і B можна отримати з формули Ейлера для швидкостей цих точок:

v → B = v → A + [ω → × AB →], {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B} = {\ vec {v}} _ {A} + \ left [{\ vec { \ omega}} \ times {\ vec {AB}} \ right],} $v → B = v → A + [ω → × AB →], {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B} = {\ vec {v}} _ {A} + \ left [{\ vec { \ omega}} \ times {\ vec {AB}} \ right],}$

де ω → {\ displaystyle {\ vec {\ omega}}} $де ω → {\ displaystyle {\ vec {\ omega}}} - вектор кутової швидкості тіла$ - вектор кутової швидкості тіла. Продифференцировав її за часом, отримуємо формулу Рівальса [1] [2] (Marc-Joseph-Émilien Rivals, 1833-1889 [3] ):

a → B = a → A + [ω → × [ω → × AB →]] + [ε → × AB →], {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {B} = {\ vec {a} } _ {A} + \ left [{\ vec {\ omega}} \ times \ left [{\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {AB}} \ right] \ right] + \ left [{ \ vec {\ varepsilon}} \ times {\ vec {AB}} \ right],} $a → B = a → A + [ω → × [ω → × AB →]] + [ε → × AB →], {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {B} = {\ vec {a} } _ {A} + \ left [{\ vec {\ omega}} \ times \ left [{\ vec {\ omega}} \ times {\ vec {AB}} \ right] \ right] + \ left [{ \ vec {\ varepsilon}} \ times {\ vec {AB}} \ right],}$

де ε → {\ displaystyle {\ vec {\ varepsilon}}} $де ε → {\ displaystyle {\ vec {\ varepsilon}}} - вектор кутового прискорення тіла$ - вектор кутового прискорення тіла.

Другий доданок називається осестремітельним прискоренням, а третє - обертальним прискоренням [1] .

Створення прискорення. динаміка точки

Перший закон Ньютона постулює існування інерційних систем відліку . У цих системах відліку рівномірний прямолінійний рух має місце в тому випадку, коли тіло ( матеріальна точка ) Не береться ніяким зовнішнім впливам в процесі свого руху. На основі цього закону виникає ключове для механіки поняття сили як такого зовнішнього впливу на тіло, яке виводить його зі стану спокою або впливає на швидкість його руху. Таким чином, постулюється, що причиною виникнення ненульового прискорення в інерціальній системі відліку завжди є деяка зовнішня силовий вплив [4] .

Класична механіка

Другий закон Ньютона стосовно нерелятивістському руху (тобто до руху зі швидкостями, багато меншими швидкості світла) стверджує, що прискорення матеріальної точки завжди пропорційно прикладеною до неї і породжує прискорення силі, причому коефіцієнт пропорційності завжди один і той же незалежно від виду силового впливу (він називається інертною масою матеріальної точки):

m a → = F →. {\ Displaystyle m {\ vec {a}} = {\ vec {F}}.}

Якщо відомі маса матеріальної точки і (як функція часу) сила, що діє на неї, то з другого закону Ньютона відомо і її прискорення: a → = F → / m. {\ Displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {F}} / m.} При сталості сили прискорення також буде постійним. Швидкість і координати точки в будь-який момент часу можна отримати, проинтегрировав прискорення за формулами з розділу про кінематиці точки при заданих початкових швидкості і координатах.

Релятивістська механіка

У релятивістській фізиці другий закон Ньютона записується в формі

mddtv → 1 - v 2 / c 2 = F → {\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ vec {v}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} = {\ vec {F}}} $mddtv → 1 - v 2 / c 2 = F → {\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ vec {v}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} = {\ vec {F}}}$

що робить перебування прискорення більш складним завданням, ніж в класичному випадку. Зокрема, тривалий рух з постійним прискоренням принципово неможливо (інакше швидкість точки в кінці кінців перевищить швидкість світла ), А незмінність сили не означає незмінності прискорення: воно буде прагнути до нуля при наростанні швидкості. Проте, якщо залежність a → (t) {\ displaystyle {\ vec {a}} (t)} що робить перебування прискорення більш складним завданням, ніж в класичному випадку все ж знайдена, розрахунок v → (t) {\ displaystyle {\ vec {v}} (t)} і r → (t) {\ displaystyle {\ vec {r}} (t)} здійснимо за тими ж формулами, що і в нерелятивістському межі.

Прискорення в теорії відносності

В теорії відносності рух тіла зі змінною швидкістю уздовж світової лінії в 4-вимірному просторі-часі характеризується певною величиною, аналогічної прискоренню. На відміну від звичайного (тривимірного) вектора прискорення, 4-вектор прискорення (званий 4-прискоренням ) Ai є другою похідною від 4-вектора координат xi мимо пори, а по просторово-часового інтервалу τ (або, що те ж саме, по власним часу ) Уздовж світової лінії тіла:

a i = d 2 x i d τ 2 = d u i d τ. {\ Displaystyle a ^ {i} = {\ frac {d ^ {2} x ^ {i}} {d \ tau ^ {2}}} = {\ frac {du ^ {i}} {d \ tau} }.}

У будь-якій точці світової лінії 4-вектор прискорення завжди ортогонален до 4-швидкості :

u i a i = 0. {\ Displaystyle u_ {i} a ^ {i} = 0 \ ,.}

Це означає, зокрема, що 4-швидкості змінюються не по модулю, а лише за напрямком: незалежно від напрямку в просторі-часі 4-швидкість будь-якого тіла дорівнює по модулю швидкості світла. Геометрично, 4-прискорення збігається з кривизною світової лінії і є аналогом нормального прискорення в класичній кінематики.

У класичній механіці значення прискорення не змінюється при переході від однієї системи відліку до іншої, тобто прискорення інваріантної щодо перетворень Галілея . У релятивістській механіці 4-прискорення є 4-вектором, тобто при перетвореннях Лоренца змінюється аналогічно просторово-тимчасовим координатами.

"Звичайний" тривимірний вектор прискорення w → {\ displaystyle {\ vec {w}}} $Звичайний тривимірний вектор прискорення w → {\ displaystyle {\ vec {w}}} (Те саме, що a → (t) {\ displaystyle {\ vec {a}} (t)} в попередніх розділах, позначення замінено щоб уникнути плутанини з 4-прискоренням), який визначається як похідна звичайної тривимірної швидкості v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} по координатного часу w → = d v → / d t {\ displaystyle {\ vec {w}} = d {\ vec {v}} / dt} , Застосовується і в рамках релятивістської кінематики, але інваріантом перетворень Лоренца не є$ (Те саме, що a → (t) {\ displaystyle {\ vec {a}} (t)} в попередніх розділах, позначення замінено щоб уникнути плутанини з 4-прискоренням), який визначається як похідна "звичайної" тривимірної швидкості v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} по координатного часу w → = d v → / d t {\ displaystyle {\ vec {w}} = d {\ vec {v}} / dt} , Застосовується і в рамках релятивістської кінематики, але інваріантом перетворень Лоренца не є. У миттєво супутньої інерціальній системі відліку 4-прискорення - це a = (0, w →). {\ Displaystyle a = (0, {\ vec {w}}).} При дії постійної сили прискорення точки w → {\ displaystyle {\ vec {w}}} зменшується з ростом швидкості, проте 4-прискорення залишається незмінним (такий випадок називають релятивістськи рівноприскореному рухом , Хоча "звичайне" прискорення при цьому не завжди).

вимірювання прискорень

використовувані одиниці

метр на секунду в квадраті (м в секунду за секунду), м / с? , Похідна одиниця системи СІ ;
сантиметр на секунду в квадраті (сантиметр в секунду за секунду), см / с? , Похідна одиниця системи СГС , Має також власну назву гал , Або галилео (застосовується переважно в гравіметрії );
g (вимовляється «же»), стандартне прискорення вільного падіння на поверхні Землі, рівне за визначенням 9,80665 м / с ². У технічних розрахунках, які не потребують точності вище 2%, часто використовується наближення g ≈ 10 м / с?.

Перетворення між різними одиницями прискорення м / с2 фут / с2 g см / с2 1 м / с2 = 1 3,28084 0,101972 100 1 фут / с2 = 0,304800 1 0,0310810 30,4800 1 g = 9,80665 32,1740 1 980,665 1 см / с2 = 0,01 0,0328084 0,00101972 1

Технічні засоби

Прилади для вимірювання прискорення називаються акселерометрами . Вони не «детектируют» прискорення безпосередньо, а вимірюють силу реакції (Укр.) Опори, що виникає при прискореному русі. Оскільки аналогічні сили опору виникають в поле тяжіння, за допомогою акселерометрів можна вимірювати також гравітацію .

Акселерографи - прилади, що вимірюють і автоматично записують (у вигляді графіків) значення прискорення поступального і обертального руху.

Значення прискорення в деяких випадках

Значення прискорень різних рухів: [5]

Вид руху Прискорення, м / с2 Доцентрове прискорення Сонячної системи при орбітальному русі в Галактиці 2,2⋅10-10 Доцентрове прискорення Землі при орбітальному русі навколо Сонця 0,0060 Доцентрове прискорення Місяця при орбітальному русі навколо Землі 0,0027 Пасажирський ліфт 0,9-1,6 Поїзд метро 1 Автомобіль «Жигулі» 1,5 Бігун на коротких дистанціях 1,5 велосипедист 1,7 ковзаняр 1,9 мотоцикл 3-6 Аварійне гальмування автомобіля 4-6 Усейн Болт , Максимальне прискорення 8 [6] Гоночний автомобіль 8-9 Гальмування при відкритті парашута 30 (3 g) Запуск і гальмування космічного корабля 40-60 (4-6 g) Маневр реактивного літака до 100 (до 10 g) паля після удару копром 300 (30 g) поршень двигуна внутрішнього згоряння 3 × 103 куля в стовбурі гвинтівки 2,5 × 105 Мікрочастинки в прискорювачі (2-50) × 1014 електрони між катодом і анодом трубки кольорового телевізора (20 до В , 0,5 м) ≈7 × 1015 Електрони при зіткненні з люмінофором трубки кольорового телевізора (20 кВ) ≈1022 Альфа-частинки в атомному ядрі ≈1027

Примітка: тут g ≈ 10 м / с2.

Поняття "узагальнене прискорення"

Якщо динаміка механічної системи описується не в декартових, а в узагальнених координатах q i {\ displaystyle q_ {i}} $Якщо динаміка механічної системи описується не в декартових, а в узагальнених координатах q i {\ displaystyle q_ {i}} (наприклад, в гамільтонової або в лагранжевой формулюваннях механіки), то можна ввести узагальнені прискорення q i ¨ {\ displaystyle {\ ddot {q_ {i}}}} - перші похідні за часом узагальнених швидкостей q i ˙ {\ displaystyle {\ dot {q_ {i}}}} або другі похідні за часом узагальнених координат; наприклад, якщо в якості однієї з узагальнених координат обраний кут, то узагальненим прискоренням буде відповідне кутове прискорення$ (наприклад, в гамільтонової або в лагранжевой формулюваннях механіки), то можна ввести узагальнені прискорення q i ¨ {\ displaystyle {\ ddot {q_ {i}}}} - перші похідні за часом узагальнених швидкостей q i ˙ {\ displaystyle {\ dot {q_ {i}}}} або другі похідні за часом узагальнених координат; наприклад, якщо в якості однієї з узагальнених координат обраний кут, то узагальненим прискоренням буде відповідне кутове прискорення . Розмірність узагальнених прискорень в загальному випадку не дорівнює LT -2.

Див. також

Примітки

↑ 1 2 Маркєєв А. П. Теоретична механіка. - М.: ЧеРо, 1999. - С. 59. - 572 с.
↑ Огляд результатів Рівальса: Appendice au Mémoire de M. Bresse // Journal de l'École polytechnique. - 1853. - Т. 20. - С. 109-115.
↑ Joulin L. Notice biographique sur M. le commandant Rivals // Mémoires de l'Académie royale des sciences, inscriptions et belles-lettres de Toulouse. - 1891. - Т. 3, вип. 9. - С. 535-539.
↑ Для того, щоб використовувати рівняння руху в формі, яка відповідає формою рівняння другого закону Ньютона, стосовно прискорення, які виникають в неінерційних системах відліку навіть за відсутності будь-яких впливів на тіло, вводять фіктивні сили інерції . Наприклад, нехай тіло масою m покоїться в інерціальній системі відліку на деякій відстані R від осі. Якщо привести систему відліку в обертання з кутовою швидкістю ω навколо цієї осі, то система стає неінерціальної, а тіло буде здійснювати видиме обертальний рух з лінійною швидкістю v = ω R по колу навколо осі. Для його опису під обертається системі відліку необхідно ввести доцентровийприскорення, яке можна формально вважати результатом дії однієї з сил інерції - сили Коріоліса , Яка дорівнює по модулю 2 mv ω і спрямованої до осі, перпендикулярно осі і швидкості тіла; при цьому вона наполовину компенсується дією іншої сили інерції - відцентрової сили , Яка дорівнює по модулю mv ω і спрямованої від осі обертання.
↑ Кошкін Н.І., Ширкевич М.Г. Довідник з елементарної фізики. - 10-е, испр. і доп .. - М.: наука , 1988. - С. 61. - 256 с. - ISBN 5-02-013833-9 .
↑ Графік залежності прискорення У. Болта від часу - забіг на 100 м на літніх Олімпійських іграх 2008 року в Пекіні

Security - Охранное агентство