Публікації журналу не тільки викликають відгуки читачів, а й породжують нові теми для обговорення. Так було до статті В. Доценко "П'яте правило арифметики" (див. "Наука і життя" № 12, 2004 р.) У ній зазначалося низька якість освіти французьких студентів, які здавали в школі "бак" (від слова "бакалавр"), аналог нашого єдиного державного іспиту. З відгуків на статтю ми надрукували замітку Г. Полознева "Справджений пророкування" , В якій говорилося про аналогічному становищі серед німецьких студентів (див. "Наука і життя" № 12, 2005), а крім того, згадувалося про сільську школу Рачинського, який ще в кінці XIX століття прищеплював сільським дітлахам навички усного рахунку і основи математичного мислення. На ілюстрації до замітки - репродукції картини Богданова-Бельського зображений процес вирішення в розумі дробу `(10 ^ 2 + 11 ^ 2 + 12 ^ 2 + 13 ^ 2 + 14 ^ 2) / 365`. Читачам пропонувалося знайти найбільш простий і раціональний метод знаходження відповіді.

Як приклад було дано варіант обчислень, в якому пропонувалося спростити чисельник виразу, по-іншому згрупувавши його складові:

\ [{10 ^ 2 + 11 ^ 2 + 12 ^ 2 + 13 ^ 2 + 14 ^ 2} = {10 ^ 2 + 12 ^ 2 + 14 ^ 2 + 11 ^ 2 + 13 ^ 2} = {4 (5 ^ 2 + 6 ^ 2 + 7 ^ 2) + 11 ^ 2 + (11 + 2) ^ 2} = {4 (25 + 36 + 49) + 121 + 121 + 44 + 4} = {4 \ times 110 + 242 + 48 = 440 + 290 = 730}. \]

Слід зазначити, що дане рішення було знайдено "по-чесному" - в розумі і наосліп, під час прогулянки з собакою в підмосковній гаю.

На пропозицію надсилати свої варіанти вирішення відгукнулися понад двадцять читачів. З них трохи менше половини пропонують уявити чисельник у вигляді

\ [10 ^ 2 + (10 + 1) ^ 2 + (10 + 2) ^ 2 + (10 + 3) ^ 2 + (10 + 4) ^ 2 = 5 \ times 10 ^ 2 + 20 + 40 + 60 + 80 + 1 + 4 + 9 + 16. \]

Це М. Граф-Любарський (м Пушкіно); А. Глуцький (м Краснокаменск Московської обл); А. Симонов (м Бердськ); В. Орлов (м Липецьк); Кудріна (м Річиця, Республіка Білорусь); В. Золотухін (м Серпухов Московської обл); Ю. Летфуллова, учениця 10-го класу (м Ульяновськ); О. Чижова (м Кронштадт).

Ще більш раціонально представили складові як `(12 - 2) ^ 2 + (12 - 1) ^ 2 + 12 ^ 2 + (12 + 1) ^ 2 + (12 + 2) ^ 2`, коли твори `+ -2 `на 1, 2 і 12 взаємно знищуються, В. Злоказов; М. Лихоманова, г. Екатеринбург; Г. Шнейдер, Москва; І. Горностаєв; І. Андрєєв-Єгоров, м Северобай кальск; В. Золотухін, м Серпухов Московської обл.

Читач В. Ідіатуллін пропонує свій спосіб перетворення сум:

\ [10 ^ 2 + 11 ^ 2 + 12 ^ 2 = 100 + 200 + 11 ^ 2 10 ^ 2 + 12 ^ 2-10 ^ 2 = 300 + 1 \ times 21 +2 \ times 22 = 321 + 44 = 365; \]

\ [13 ^ 2 + 14 ^ 2 = 200 + 13 ^ 2-10 ^ 2 + 14 ^ 2-10 ^ 2 = 200 + 3 \ times 23 + 4 \ times 24 = 269 + 94 = 365. \]

Д. Копилов (Санкт-Петербург) нагадує про одну з найвідоміших математичних знахідок С. А. Рачинського: існують п'ять послідовних натуральних чисел, сума квадратів перших трьох з яких дорівнює сумі квадратів двох останніх. Ці числа і наведені на класній дошці. А якщо учні Рачинського напам'ять знали квадрати перших п'ятнадцяти - двадцяти чисел, завдання зводилася до складання тризначних чисел. Наприклад: `13 ^ 2 + 14 ^ 2 = 169 + 196 = 169 + (200 - 4)`. Сотні, десятки і одиниці складаються окремо, і залишається тільки підрахувати: `69 - 4 = 65`.

Схожим чином вирішили задачу Ю. Новиков, З. Григорян (м Кузнецьк Пензенської обл.), В. Маслов (м Знаменск Астраханській обл.), Н. Лахова (Санкт-Петербург), С. Черкасов (п. Тьоткіне Курської обл .) і Л. Жевакин (Москва), який запропонував також дріб, яка обчислюється аналогічним способом:

\ [\ Frac {10 ^ 2 + 11 ^ 2 + 12 ^ 2 + 13 ^ 2 + 14 ^ 2 + 15 ^ 2 + 19 ^ 2 + 2 ^ 2} {365} = 3. \]

А. Шамшурин (м Боровичі Новгородської обл.) Застосував для обчислення квадратів чисел рекуррентную формулу типу \ (A_i ^ 2 = (A_ {i-1} +1) ^ 2 \), сильно спрощує розрахунки, наприклад: \ (13 ^ 2 = (12 + 1) ^ 2 = 144 + 24 + 1 \).

Читач В. Паршин (Москва) спробував застосувати правило швидкого зведення в другу ступінь з книги Є. Ігнатьєва "У царстві кмітливості", виявив у ньому помилку, вивів своє рівняння і застосував його для вирішення завдання. У загальному вигляді `a ^ 2 = (an) (a + n) + n ^ 2`, де `n` - будь-яке число менше` a`. Тоді \ [11 ^ 2 = 10 \ times 12+ 1 ^ 2, \] \ [12 ^ 2 = 10 \ times 14 + 2 ^ 2, \] \ [13 ^ 2 = 10 \ times 16 + 3 ^ 2 \ ] і т. д., потім складові групуються раціональним чином, так що чисельник в кінці кінців набуває вигляду 700 + 30.

Інженер А. Трофимов (п. Ібресі, Чувашія) справив дуже цікавий аналіз числової послідовності в чисельнику і перетворив її в арифметичну прогресію виду

\ [X_1 + x_2 + ... + x_n, де \: x_i = a_ {i + 1} - a_i. \]

Для цієї прогресії справедливим є твердження

\ [X_n = 2n + 1, то \, є \: a_ {n + 1} ^ 2 = a_n ^ 2 + 2n + 1, \]

звідки виходить рівність

\ [A_ {n + k} ^ 2 = a_n ^ 2 + 2nk + n ^ 2 \]

Воно дозволяє підраховувати в розумі квадрати двох-тризначних чисел і може бути застосовано для вирішення завдання Рачинського.

І нарешті, правильну відповідь виявилося можливим отримати шляхом оцінок, а не точних обчислень. А. Полушкин (м Липецьк) зауважує, що, хоча послідовність квадратів чисел не лінійна, можна п'ять разів взяти квадрат середнього числа - 12, округливши його: `144 \ times 5 ~~ 150 \ times 5 = 750`. А `750: 365 ~~ 2`. Оскільки ясно, що усний рахунок повинен оперувати цілими числами, відповідь цей напевно вірний. Він був отриманий за 15 секунд! Але його все ж можна перевірити додатково, провівши оцінку "знизу" і "зверху":

\ [10 ^ 2 \ times 5 = 500, 500: 365> 1 \] \ [14 ^ 2 \ times 5 = 196 \ times 5 <200 \ times 5 = 1000, 1000: 365 <3. \]

Більше 1, але менше 3, отже - 2. Точно таку ж оцінку провів і В. Юдас (Москва).

Сам автор замітки "справджений пророкування" Г. Полознев (м Бердськ Новосибірської обл.) Справедливо зауважив, що чисельник напевно повинен бути кратний знаменника, тобто дорівнює 365, 730, 1095 днів і т. Д. Оцінка величини часткових сум однозначно вказує на друге число.

Важко сказати, який із запропонованих способів розрахунку найбільш простий: кожен вибирає свій виходячи з особливостей власного математичного мислення.