1. Що таке ірраціональні вирази?
2. Основні види перетворень ірраціональних виразів
3. Перетворення подкоренного вираження
4. Використання властивостей коренів
5. Внесення множника під знак кореня
6. Винесення множника з-під знака кореня
7. Перетворення дробів, що містять корені
8. Позбавлення від ірраціональності в знаменнику
9. Перехід від коренів до ступенями

У цій статті ми поговоримо про ірраціональні вирази і їх перетворення. Спочатку з'ясуємо, які вислови називають ірраціональними. А далі на прикладах розберемо перетворення, характерні для виразів цього виду.

Що таке ірраціональні вирази?

Ірраціональні вирази починають зустрічатися на етапі знайомства з коренем з числа , Що зазвичай відбувається на уроках алгебри у 8 класі. Тут інтуїція підказує, що ірраціональні вирази як то пов'язані з корінням, і це дійсно так. Наступне визначення підтверджує нашу гіпотезу:

Ірраціональними виразами називають вирази, що містять операцію вилучення кореня. Іншими словами, ірраціональні вирази - це вирази з радикалами (вирази, що містять у своєму записі знаки кореня).

Це визначення сформульовано на основі інформації, наведеної в підручнику [2, с. 46].

На його основі ми можемо навести приклади ірраціональних виразів: , , , і т.п.

Щоб в подальшому не виникало плутанини, давайте обговоримо один момент. Розглянемо вираз з книги [1, с. 19]. З контексту зрозуміло, що це раціональне вираз , Воно підходить під відповідну ухвалу. Але в цьому виразі присутні коріння, отже, відповідно до введеному в цьому пункті визначенню воно ірраціональне. Так яке це вираз насправді: раціональне або ірраціональне?

Це не має значення. Цим ми хочемо сказати, що не варто фанатично підходити до розбиття виразів на види , Так як ця класифікація не досить сувора (на відміну від класифікації чисел, адже натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні числа визначені строго, і якщо дане число раціональне, то воно вже точно не ірраціональне і навпаки). Вирази поділяють на раціональні, ірраціональні і т.п. здебільшого для зручності подання та опису матеріалу. Наприклад, ми маємо справу з раціональними виразами весь час, поки вчимося працювати з многочленами та алгебраїчними дробами. А до ірраціональним виразами ми переходимо тоді, коли стикаємося з необхідністю провести якісь операції з корінням. Почнемо вивчати логарифм - зіткнемося з логарифмічними виразами. І так далі. Взагалі, якщо немає твердої впевненості в тому, якого виду вираз знаходиться перед нами, то краще сказати просто вираз, не додаючи уточнююче визначення.

Завершуючи інформацію цього пункту, зауважимо, що в школі термін «ірраціональні вирази» використовують мало, більше говорять про вирази, що містять корені (можливо, це робиться, щоб уникнути зіткнення з обговореними вище нюансами).

Основні види перетворень ірраціональних виразів

Відразу зауважимо, що при перетворенні ірраціональних виразів, як і при перетворенні будь-яких інших виразів, треба враховувати область допустимих значень (ОДЗ) і не допускати її звуження.

З ірраціональними виразами, як і з виразами інших видів, можна проводити будь-які з основних тотожних перетворень , Будь то розкриття дужок, угруповання і зведення подібних доданків і т.п. Це і зрозуміло, так як в основі цих перетворень лежать такі властивості дій з числами, які є загальними для чисел різних видів. Також зрозуміло, що при проведенні перетворень ірраціональних виразів зберігається прийнятий порядок виконання дій . Покажемо рішення кількох прикладів.

Перетворіть ірраціональне вираз .

Для початку замінимо корінь з 81 його значенням 9 (при необхідності дивіться витяг коренів ), Маємо

Очевидно, в отриманому виразі присутні подібні доданки , Тому доцільно виконати їх приведення:

.

Очевидно, ірраціональне вираз в дужках являє собою квадрат різниці, тобто, його можна замінити на , тому

А тепер дев'ятку можна переписати як 32, після чого скористатися формулою різницю квадратів:

В результаті виконаних тотожних перетворень ми прийшли до потрібного нам твору двох ірраціональних виразів.

.

Існує ще ряд перетворень, що відносяться саме до ірраціональним виразами. Розглянемо основні з них.

Перетворення подкоренного вираження

Одне з найважливіших перетворень ірраціональних виразів полягає в наступному: вираз під знаком кореня можна замінити тотожно рівним виразом . Спочатку наведемо приклади його виконання, після чого пояснимо, на чому вона базується.

Це твердження дає можливість працювати з подкоренного висловлювання. Наприклад, воно дозволяє суму під коренем в вираженні замінити її значенням, тобто, перейти до кореня . Інший приклад: ірраціональне вираз можна замінити тотожне рівним йому виразом .

Чому дане перетворення має місце? Справа в тому, що коли ми давали визначення кореня з числа a, то ми сказали про його єдиності. Тобто, не існує числа a1, відмінного від a, для якого справедливо рівність , Це рівність можливо лише при a = a1. Також ми знаємо, що значення тотожно рівних виразів A і A1 рівні при будь-яких допустимих значеннях змінних. З цих фактів випливає разбираемое твердження.

Використання властивостей коренів

Для тотожних перетворень ірраціональних виразів широко використовуються властивості коренів . Наприклад, використовуючи властивість , Де a≥0, b≥0, від ірраціонального виразу можна перейти до тотожно рівному висловом . А властивість , Де a≥0, дозволяє вираз переписати як .

Перетворення ірраціональних виразів, що містять під знаками коренів негативні числа і вирази зі змінними, існує низка нюансів. Наприклад, ми не маємо права записати рівність на підставі властивості коренів, вираженого формулою . Справа в тому, що зазначена формула дана для невід'ємного числа a і позитивного b, а -7 і -81 - негативні числа. Але якщо попередньо замінити дріб під знаком кореня рівної їй дробом 7/81, то далі можна застосовувати згадане властивість коренів і переходити до вираження виду .

Подібні тонкощі в деталях розібрані в статті перетворення ірраціональних виразів з використанням властивостей коренів .

Властивості коренів лежать в основі двох наступних перетворень, званих внесенням під знак кореня і винесенням з-під знака кореня, до розгляду яких ми і переходимо.

Внесення множника під знак кореня

Внесення множника під знак має на увазі заміну виразу , Де B і C - деякі числа або вирази, а n - натуральне число, більше одиниці, тотожне рівним виразом, що має вигляд або .

Наприклад, ірраціональне вираз після внесення множника 2 під знак кореня набуває вигляду .

Теоретичні основи цього перетворення, правила його проведення, а також розв'язання різноманітних характерних прикладів дані в статті внесення множника під знак кореня .

Винесення множника з-під знака кореня

Перетворенням, в даному разі зворотним внесення множника під знак кореня, є винесення множника з-під знака кореня. Воно полягає в поданні кореня у вигляді твору при непарних n або у вигляді твору при парних n, де B і C - деякі числа або виразу.

За прикладом повернемося в попередній пункт: ірраціональне вираз після винесення множника з-під знака кореня набуває вигляду . Інший приклад: винесення множника з-під знака кореня у виразі дає твір , Яке можна переписати у вигляді .

На чому базується це перетворення, і за якими правилами воно проводиться, розберемо в окремій статті винесення множника з-під знака кореня . Там же наведемо рішення прикладів і перерахуємо способи приведення подкоренного вираження до вигляду, зручного для винесення множника.

Перетворення дробів, що містять корені

Ірраціональні вирази можуть містити дробу, в чисельнику і знаменнику яких присутні коріння. З такими дробами можна проводити будь-які з основних тотожних перетворень дробів.

По-перше, ніщо не заважає працювати з виразами в чисельнику і знаменнику. Як приклад розглянемо дріб . Ірраціональне вираження в чисельнику, очевидно, тотожно дорівнює , А, звернувшись до властивостей коренів, вираження в знаменнику можна замінити коренем . В результаті вихідна дріб перетвориться до виду .

По-друге, можна змінити знак перед дробом, змінивши знак чисельника або знаменника. Наприклад, мають місце такі перетворення ірраціонального виразу: .

По-третє, іноді можливо і доцільно провести скорочення дробу. Наприклад, як відмовити собі в задоволенні скоротити дріб на ірраціональне вираз , В результаті отримуємо .

Зрозуміло, що в багатьох випадках, перш ніж виконати скорочення дробу, вираження в її чисельнику і знаменнику доводиться розкладати на множники, чого в простих випадках дозволяють домогтися формули скороченого множення. А іноді скоротити дріб допомагає заміна змінної, що дозволяє від вихідної дробу з ірраціональністю перейти до раціонального дробу, працювати з якою комфортніше і звичніше.

Для прикладу візьмемо вираз . Введемо нові змінні і , В цих змінних вихідне вираз має вигляд . Виконавши в чисельнику розкладання многочлена на множники за формулою різницю квадратів, отримуємо можливість скоротити дріб на u + v, маємо . Виконавши зворотну заміну, приходимо до виразу , Яке тотожне одно вихідного ірраціонального виразу на ОДЗ.

По-четверте, дроби з ірраціональністю можна приводити до нового знаменника, множачи її чисельник і знаменник на додатковий множник. Наприклад, наведемо дріб до нового знаменника x. Для цього її чисельник і знаменник слід помножити на ірраціональне вираз , маємо .

Нагадаємо, що виконувати скорочення дробів або приведення дробів до нового знаменника необхідно на ОДЗ змінних для вихідної дробу.

Множення чисельника і знаменника дробу на деякий ірраціональне вираз часто використовується для проведення перетворення, званого позбавленням від ірраціональності в знаменнику. Розберемо, як воно проводиться.

Позбавлення від ірраціональності в знаменнику

Позбавленням від ірраціональності в знаменнику називають перетворення, при якому дріб замінюється тотожне рівний дробом, яка не містить в знаменнику знаків коренів.

Наприклад, заміна дроби дробом є звільнення від ірраціональності в знаменнику.

Виникає питання: «Які дії необхідно зробити, щоб позбутися від ірраціональності в знаменнику дробу»? Відповідь на нього міститься в матеріалі статті звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу .

Перехід від коренів до ступенями

Перехід від коренів до ступенями при перетворенні ірраціональних виразів проводиться на базі рівності , За допомогою якого дається визначення ступеня з раціональним показником. Їм безбоязно можна користуватися, коли a - позитивне число, m - ціле число, а n - натуральне. Наприклад, корінь можна замінити ступенем з дробовим показником виду .

Якщо ж під коренем знаходиться негативне число або вираз зі змінними, то формулою треба користуватися акуратно. Наприклад, ми не маємо права відразу замінити коріння і ступенями виду і , Так як формула не має сенсу для негативних a. Як надходити в таких випадках розберемося в статті перехід від коренів до ступенями і назад .

Список літератури.

1. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2011. - 222 с .: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
2. Мордкович А. Г. Алгебра і початки математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2008. - 287 с .: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.

Колись розбиратися?

Замовте рішення